Multiplicacion de expresiones algebraicas , muchas gracias?

EL NÚMERO COMPLEJOSe hace, por tanto, necesario ampliar el conjunto de los números reales a un conjunto donde puedan resolverse situaciones como las anteriores, de manera que esté en correspondencia biunívoca con una parte de él.

Dicho conjunto es llamado : Conjunto de los números Complejos y se denota por la letra C .

A continuación se describen las definiciones y los resultados más importantes relacionados con los números complejos.

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1 LOS COMPLEJOS COMO PARES ORDENADOS Definiciones.

I) El conjunto de los números complejos se define como : C = , es decir, C = .

Ii) Al elemento (a, b) Î C se le llama número complejo y, usualmente, se denota por z = (a, b).

Iii) En el complejo llamamos parte real del complejo z (Re(z)) a la primera componente y parte imaginaria del complejo z (Im(z)) a la segunda componente.

Es decir, si z = (a, b), entonces, Re(z) = a y Im(z) = b .

Iv) Un número complejo es real si su parte imaginaria es cero.

Un número complejo es un imaginario puro si su parte real es cero.

V) Al número complejo (0, 1) se le llama unidad imaginaria y se denota por la letra i .

Esto es , i = (0, 1).

Vi) Sean y dos números complejos, entonces :

y b = d

Es decir, dos números complejos son iguales sí y sólo si coinciden en su parte real y en su parte imaginaria.

Observaciones.

I) Con relación al plano cartesiano, los números complejos están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano.

Esto es, la abscisa de cada punto es la parte real y la ordenada la parte imaginaria .

1. 3.

2 Operaciones en C.

En el conjunto C están definidas dos operaciones, denominadas respectivamente adición y multiplicación, de la siguiente forma : Sean y dos números complejos.

I) ADICIÓN : ii) MULTIPLICACIÓN : Se puede demostrar que, con estas dos operaciones, el conjunto C adquiere la estructura algebraica de campo.

El elemento neutro de la adición es 0 = (0, 0) ; el inverso aditivo de (a, b) es ( - a, - b).

El elemento neutro de la multiplicación es 1 = (1, 0) y el inverso multiplicativo de es :

De este modo, las operaciones de DIFERENCIA y DIVISIÓN (por un divisor distinto de cero) pueden definirse de la siguiente forma : iii) DIFERENCIA :

iv) DIVISIÓN : ; Esto, de acuerdo con la noción de inverso aditivo y multiplicativo.

Observación.

De la definición de unidad imaginaria y de la multiplicación entre complejos, se tiene :

y como el complejo ( - 1, 0) se identifica con el número real - 1, se concluye entonces que :

De esta manera, se pueden establecer las potencias sucesivas de la unidad imaginaria i, así : ; ; ; .

En forma similar , ; ; ; , etc…

Note que si el exponente es de la forma 4k con k entero positivo, entonces :

En general , si el exponente es un natural n> 4, al dividir n por 4, se tiene : n = 4q + r , donde r = 0, 1, 2, 3 y, en consecuencia ,

reduciendo así la potencia de a uno de los cuatro casos considerados inicialmente.

1. 3.

3 Forma binómica de los complejos.

Sea z = (a, b) un número complejo.

De acuerdo a la definición de suma de complejos, se tiene z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) , y como (a, 0) coincide con el real a y (0, b) = (0, 1).

B = ib, se tiene, entonces, z = (a, b) = a + bi .

La forma a + bi se conoce como la forma binómica del complejo

Las operaciones, mencionadas anteriormente, se harán, en consecuencia , según las siguientes reglas : i) ADICIÓN Y DIFERENCIA :

ii) MULTIPLICACIÓN :

iii) DIVISIÓN :

Observe que estas operaciones pueden efectuarse formalmente siguiendo las mismas reglas del álgebra con números reales, con la única precaución de sustituir, cada vez que aparezca, por el número - 1.

Así, para calcular el cociente de (a + bi) entre , se escribe : (Multiplicando Numerador y Denominador

por la expresión conjugada * del denominador).

1. 3.

4 Complejos conjugados.

Módulo de un complejo.

Definiciones.

Sea z = a + bi la forma binómica de un número complejo, entonces : i)El complejo conjugado de z = a + bi, denotado por es el complejo .

Ii)Dos complejos son conjugados uno del otro si tienen la misma parte real, y si sus partes imaginarias son números reales opuestos.

Geométricamente, dos complejos conjugados uno del otro se caracterizan por ser puntos simétricos con respecto al eje real

Teorema.

Sean números complejos, entonces :

1.

3 Generalizaciòn :

4.

1 Generalización : 5 |z| = 0 Û z = 0 6.

12 (Desigualdad triangular )12.

1 Generalización : 13 .

Demostración.

A manera de ilustración se demuestran las propiedades 1y3 ; se deja la demostración de las demás propiedades como ejercicio para el lector.

1 Sean y , las formas binómicas de los complejos , entonces : = (a + c ) - ( b + d)i = (a - bi ) + (c - di ) = .

2 (Þ ) Suponga que zÎ Â y pruebe que z = .

Si zÎ Â, entonces z = a + 0i y = a - 0i , esto es : z = a = .

(Ü ) Sea z = a + bi , = a - bi .

Si z = , entonces a + bi = a - bi y por la igualdad entre complejos, se sigue que b = - b ó 2b = 0 , con lo cual b = 0 .

En consecuencia , z = a + 0i = a Î Â .