Para verificar si los planos son paralelos, se emplea el producto vectorial, en el cual se define, siendo A y B dos vectores en el espacio tridimensional : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%7C%7Cr%7C%7C%3D%7C%7CA%7C%7C.%7C%7CB%7C%7C.sen%28%5Calpha%20%29" />Si son paralelos el resultado es cero.
En la forma cartesiana el procedimiento es este : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%2Cz_%7B1%7D%29x%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%2Cz_%7B2%7D%29%3Ddet%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5Cx_%7B1%7D%26y_%7B1%7D%26z_%7B1%7D%5C%5Cx_%7B2%7D%26y_%7B2%7D%26z_%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5C%5C%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%2Cz_%7B1%7D%29x%28x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D%2Cz_%7B2%7D%29%3D%28y_%7B1%7Dz_%7B2%7D-y_%7B2%7Dz_%7B1%7D%29i-%28x_%7B1%7Dz_%7B2%7D-z_%7B2%7Dz_%7B1%7D%29i%2B%28x_%7B1%7Dy_%7B2%7D-x_%7B2%7Dy_%7B1%7D%29k" />El resultado es un vector perpendicular a los dos operandos.
Procedemos para ver si los planos son paralelos, no tenemos más que hacer el producto vectorial entre los sendos vectores asociados a cada plano : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%285%2C-7%2C3%29x%289%2C2%2C3%29%3Ddet%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5C5%26-7%263%5C%5C9%262%263%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5C%5C%285%2C-7%2C3%29x%289%2C2%2C3%29%3D%28-7.3-2.3%29i-%285.3-9.3%29i%2B%285.2-9.%28-7%29%29k%3D%28-27%2C12%2C73%29" />Los planos no son paralelos por ende existe una recta intersección entre ellos, como todo vector contenido en un plano es siempre perpendicular al vector asociado, el que acabamos de obtener es el vector director de la recta.
Ahora esto nos da una familia de rectas con ese vector como director, debemos hallar un punto de la recta intersección de modo de identificarla.
Nos queda un sistema : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=5x-7y%2B3z%3D15%5C%5C9x%2B2y%2B3z%3D5" />Sistema compatible indeterminado cuyo conjunto solucion es la recta buscada, asignamos un valor arbitrario a una de las variables, por ejemplo z = 0 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=5x-7y%3D15%5C%5C9x%2B2y%3D5" />Ahora lo podemos resolver, por cualquier método, aquí vamos a usar reducción mediante combinaciones lineales entre ecuaciones : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=2Ec_%7B1%7D%2B7Ec_%7B2%7D%5C%5C10x-14y%3D30%5C%5C63x%2B14y%3D35%5C%5C10x-14y%2B63x%2B14y%3D65%5C%5C73x%3D65%5C%5Cx%3D%5Cfrac%7B73%7D%7B65%7D" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=9Ec_%7B1%7D-5Ec_%7B2%7D%5C%5C45x-63y%3D135%5C%5C45x%2B10y%3D25%5C%5C45x-63y-45x-10y%3D110%5C%5C-73y%3D110%5C%5Cy%3D-%5Cfrac%7B110%7D%7B73%7D" />Con lo que un punto de la recta es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=P_%7B0%7D%3D%28%5Cfrac%7B73%7D%7B65%7D%2C-%5Cfrac%7B110%7D%7B73%7D%2C0%29" />La ecuación vectorial de la recta es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3A%28x%2Cy%2Cz%29%3DP_%7B0%7D%2B%5Clambda%20V%5C%5Cr%3A%28x%2Cy%2Cz%29%3D%28%5Cfrac%7B73%7D%7B65%7D%2C-%5Cfrac%7B110%7D%7B73%7D%2C0%29%2B%5Clambda%20%28-27%2C12%2C73%29" />Y para hallar las ecuaciones paramétricas no tengo más que descomponer la ecuación anterior en 3 ecuaciones para cada eje : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3A%28x%2Cy%2Cz%29%3D%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D%5Cfrac%7B73%7D%7B65%7D-27%5Clambda%7D%20%5Catop%20%7By%3D-%5Cfrac%7B110%7D%7B73%7D%2B12%5Clambda%7D%20%7D%20%5Catop%20%7Bz%3D73%5Clambda%7D%20%5Cright." />Y esta sería la recta buscada.