Alguien me puede ayudar con la siguiente integral, O por lo menos un indicio de cómo resolverla, Gracias?

Bueno, la idea es aplicar una integración por partes,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7BTe%5E%7B-2T%7D%7DdT" />

consideramos el criterio de ILATE : entonces u = T, entonces du = dT, y dv = e ^ { - 2T}dT e integramos, v = - e ^ { - 2T} / 2 entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7BTe%5E%7B-2T%7D%7DdT%3D%5Cleft%28-T%5Cfrac%7Be%5E%7B-2T%7D%7D%7B2%7D%5Cright%7C_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D-%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7B-%5Cfrac%7Be%5E%7B-2T%7D%7D%7B2%7D%7DdT" />

usando algunas propiedades de las integrales.

Podemos simplificar de la siguiente forma.

Y también usando las leyes de los exponentes, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7BTe%5E%7B-2T%7D%7DdT%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7BT%7D%7B2e%5E%7B2T%7D%7D%5Cright%7C_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-2T%7D%7DdT" />

ahora, esa integral, ya esmucho más fácil, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7BTe%5E%7B-2T%7D%7DdT%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7BT%7D%7B2e%5E%7B2T%7D%7D%5Cright%7C_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28-%5Cfrac%7Be%5E%7B-2T%7D%7D%7B2%7D%5Cright%7C_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20...%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7BT%7D%7B2e%5E%7B2T%7D%7D%5Cright%7C_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B2T%7D%7D%5Cright%7C_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D" />

para hallar el valor, debemos usar el teorema fundamental del cálculo para integrales impropias, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint_%7Bb%7D%5E%7Ba%7D%7BF%28x%29%7Ddx%3DF%28b%29-F%28a%29%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20b%7D%7D%7BF%28x%29%7D-%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%5E%7B%2B%7D%7DF%28x%29" />

ahora,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20F%28b%29-F%28a%29%3D%5Clim_%7Bb%5Crightarrow-%5Cinfty%20%7D%5Cleft%28%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2e%5E%7B2b%7D%7D%7Db-%5Cfrac%7B1%7D%7B4e%5E%7B2b%7D%7D%5Cright%29%3D%5Cinfty%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20F%28b%29-F%28a%29%3D%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%2B%5Cinfty%20%7D%5Cleft%28%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2e%5E%7B2b%7D%7D%7Db-%5Cfrac%7B1%7D%7B4e%5E%7B2b%7D%7D%5Cright%29%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20...%3D0-%5Cinfty%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20Integral%3D-%5Cinfty" />

y eso sería todo.