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Los puntos máximos y mínimos se hallan con el criterio de la segunda derivada y la matriz hessiana :

f (x, y) = x ^ 3 + y ^ 3 + 3xy ^ 2 - 18(x + y)

Hallando los puntos críticos : (hallando sus derivadas parciales)

df / dx = 3x² + 3y² - 18 = 0 df / dy = 3y² + 6yx - 18 = 0 x² + y² - 6 = 0 y² + 2yx - 6 = 0

Igualando :

x² + y² = y² + 2xy

x(x - 2y) = 0

x = 0

y = + - √6

o

x = 2y

x² + y² - 18 = 0

5y² = 18

y = + - √6 / 5

x = + - 2√6 / 5

Analizando si son máximos o mínimos o puntos silla :

Hallando las segundas derivadas parciales y las cruzadas

d²f / dx² = 2x d²f / dy² = 2y + 2x

d²f / dydx = 2y d²f / dxdy = 2y

Haciendo la matriz hessiana y evaluando en los puntos :

(0, √6) ; (0, - √6) , (2√6 / 5, √6 / 5), ( - 2√6 / 5, - √6 / 5) , (2√6 / 5, - √6 / 5), ( - 2√6 / 5, √6 / 5)

H(p) = | fxx fyx| | fxy fyy|

H(p) = | 2x 2y | | 2y 2y + 2x|

Reemplazando en los puntos y hallando su determinante :

H(0, √6) = - 24 0, por lo tanto es un mínimo relativo

H( - 2√6 / 5, - √6 / 5) = 24> 0

Analizamos en fxx para ver si es un máximo o mínimo relativo :

d²f / dx² = 2x

d²f / dx²( - 2√6 / 5, - √6 / 5) = 2( - 2√6 / 5) = - 4√6 / 5 < 0, por lo tanto es un máximo relativo

H(2√6 / 5, - √6 / 5) = 4, 8 > 0

Analizamos en fxx para ver si es un máximo o mínimo relativo :

d²f / dx² = 2x

d²f / dx²(2√6 / 5, √6 / 5) = 2(2√6 / 5) = 4√6 / 5 > 0, por lo tanto es un mínimo relativo

H( - 2√6 / 5, √6 / 5) = 4, 8>0

Analizamos en fxx para ver si es un máximo o mínimo relativo :

d²f / dx² = 2x

d²f / dx²( - 2√6 / 5, √6 / 5) = 2( - 2√6 / 5) = - 4√6 / 5 < 0, por lo tanto es un máximo relativo

Reemplazando en f(x, y) :

f (x, y) = x ^ 3 + y ^ 3 + 3xy ^ 2 - 18(x + y)

f(2√6 / 5, √6 / 5) = - 36√6 / 5

f( - 2√6 / 5, - √6 / 5) = 36√6 / 5

f(2√6 / 5, - √6 / 5) = - 2, 629068276

f( - 2√6 / 5, √6 / 5) = 2, 629068276

Tiene un máximo local en :

( - 2√6 / 5 ; - √6 / 5 ; 36√6 / 5)

( - 2√6 / 5 ; √6 / 5 ; 2, 629068276)

Tiene un mínimo local en :

(2√6 / 5 ; √6 / 5 ; - 36√6 / 5)

(2√6 / 5 ; - √6 / 5 ; - 2, 629068276).