Como puedo encontrar la recta tangente y normal si y = 3 ^ x y x = 2?

Bueno, como recordarás, la derivada de un curva en cualquier punto es la pendiente de la recta tangente en un punto dado.

Entonces derivemos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D3%5E%7Bx%7D%5C%5C" />

aplicamos la derivada, respectiva, sabemos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Dm%3D3%5E%7Bx%7D%5Cln%283%29" />

y nos pide la pendiente "m", en x = 2, entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D3%5E%7B2%7D%5Cln%283%29%3D9%5Cln%282%29" />

y esa sería la pendiente.

Entonces, la ecuación de la recta dado un punto una pendient es,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-y_%7B1%7D%3Dm%28x-x_%7B1%7D%29%5C%5Cy-f%282%29%3D9%5Cln%282%29%28x-2%29%5C%5Cy-9%3D9%5Cln%282%29x-18%5Cln%282%29%5C%5C%5C%5C9%5Cln%282%29x-y-18%5Cln%282%29%2B9%3D0" />

está horrible.

Pero bueno.

Ahora si quieres una recta normal a ésta.

Es decir buscamos una recta perpendicular, entonces,

sabemos que si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes tiene que ser - 1, entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m_%7B1%7Dm_%7B2%7D%3D-1%5C%5Cm_%7B2%7D%3D-9%5Cln%282%29" />

ya tenemos la nueva pendiente, ahora armamos la ecuacón de la recta, dado un punto y su pendiente,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-y_%7B1%7D%3Dm%28x-x_%7B1%7D%29%5C%5Cy-f%282%29%3D-9%5Cln%282%29%28x-2%29%5C%5Cy-9%3D-9%5Cln%282%29x%2B18%5Cln%282%29%5C%5C%5C%5C9%5Cln%282%29x%2By-18%5Cln%282%29-9%3D0" />

igualmente de feo.

Pero bueno.

Y eso sería todo.