RESOLUCIÓN.
Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos :
1) Determinar el valor de la concentración con respecto al tiempo.
La ecuación diferencial que rige a las mezclas es :
dx / dt + Q2 * X / [Vo + (Q1 - Q2)t] = Q1 * C1
Dónde :
Q1 es el caudal de entrada.
Q2 es el caudal de salida.
Vo es el volumen inicial.
C1 es la concentración que se agrega a la mezcla.
Datos :
Q1 = 8 L / min
Q2 = 10 L / min
V = 500 L
C1 = 5 g / L
Sustituyendo se tiene que :
dx / dt + 10 * X / [500 + (8 - 10)t] = 8 * 5
dx / dt + 5 * X / (250 - t) = 40
Reordenando la ecuación se tiene que :
dx + [5X / (250 - t)] dt = 40 dt
Por ser una ecuación diferencial lineal hay que encontrar un factor, el cual es :
μ = e ^ ∫5 / (250 - t) dt = e ^ [ - 5 * ln(250 - t)] = (250 - t)⁻⁵
Ahora se multiplica la ecuación diferencial porμ.
(250 - t)⁻⁵ * dx + 5 * X(250 - t)⁻⁶ * dt = 40(250 - t)⁻⁵ * dt
Puesto que :
d [(250 - t)⁻⁵ * X] = (250 - t)⁻⁵ * dx + 5 * X(250 - t)⁻⁶ * dt
La ecuación queda :
d [(250 - t)⁻⁵ * X] = 40(250 - t)⁻⁵ * dt
Ahora se integra la expresión :
∫d [(250 - t)⁻⁵ * X] = ∫40(250 - t)⁻⁵ * dt
(250 - t)⁻⁵ * X = 10(250 - t)⁻⁴ + K
Se sustituye pata t = 0, x = 20
(250)⁻⁵ * 20 = 10(250)⁻⁴ + K
K = - 2480 * (250)⁻⁵
Sustituyendo el valor de K :
(250 - t)⁻⁵ * X = 10(250 - t)⁻⁴ - 2480 * (250)⁻⁵
Despejando X :
X(t) = 10(250 - t) - 2480 * (250)⁻⁵ * (250 - t)⁵
Los gramos de sal en cualquier instante de tiempo es X(t).
2) Determinar la concentración en cualquier instante de tiempo.
C(t) = X(t) / V(t)
V(t) = Vo + (Q1 - Q2)t
Sustituyendo los valores en V(t) :
V(t) = 500 + (8 - 10)t
V(t) = 500 - 2t
V(t) = 2 * (250 - t)
Sustituyendo X(t) y V(t) en C(t) :
C(t) = {10(250 - t) - 2480 * (250)⁻⁵ * (250 - t)⁵} / 2 * (250 - t)
C(t) = 5 - 1240 * (250)⁻⁵ * (250 - t)⁴
La concentración en cualquier instante de tiempo es C(t).