Encuentre la antiderivada más general de las siguientes funciones, compruebe su respuesta mediante la derivación yGrafique en Geogebra la función y una de sus antiderivadas?

⭐SOLUCIÓN : csc(x) - 3 ctg(x) + 3sen⁻¹(x) + CLa antiderivada se refiere al cálculo de la integral.

En este caso solamente tendremos que acomodar función a una forma más sencilla.

Todo esto lo haremos aplicando propiedades de funciones trigonométricas : f (x) = - cscx · ctgx + 3csc²x + 3 / √1 - x²Separamos : Primera integralg(x) = - cscx · ctgx = - 1 / senx · cosx / senx = - cosx / senx²<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%5C%20%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bsenx%5E%7B2%7D%7D%5C%2C%20dx" />Por cambio de variable : u = senx → du = cosx<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%5C%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bu%5E%7B2%7D%7D%5C%2C%20dx%20%3D-%5Cint%5C%20u%5E%7B-2%7D%5C%2C%20du%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%7D%2BC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BSenx%7D%2BC%3Dcscx%2BC" />Comprobamos con la derivada : - cscx · ctgxSegunda integralh (x) = 3csc²x<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%5Cint%5Ccsc%5E%7B2%7Dx%5C%2C%20dx%20%3D-3ctgx%2Bc" />Comprobamos con la derivada : - 3 · - csc²x = 3cscxTercera integrali (x) = 3 / √(1 - x²)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E%7B2%7D%7D%7D%5C%2C%20dx" />Por sustitución trigonométrica : x = senα → dx = cosα doα<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%5Cint%5Cfrac%7Bcos%5Calpha%20%7D%7B%5Csqrt%7B1-sen%5E%7B2%7D%5Calpha%7D%7D%5C%2C%20d%5Calpha" />Recordar : sen²α + cos²α = 1 → cos²α = 1 - sen²α<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%5Cint%5Cfrac%7Bcos%5Calpha%20%7D%7B%5Csqrt%7Bcos%5E%7B2%7D%5Calpha%7D%7D%5C%2C%20d%5Calpha%3D3%5Cint%5C%2Cd%5Calpha%20%3D%5Calpha%20%2BC" />Devolviendo el cambio : x = senαα = sen⁻¹xEntonces : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E%7B2%7D%7D%7D%5C%2C%20dx%3D3sen%5E%7B-1%7Dx%2BC" />Comprobamos con la derivada : 1 / √(1 - x²).