La ecuación diferencial (3xy)dx + (3x ^ 2 )dy = 0, es inexacta puesto que ∂M / ∂y≠∂N / ∂x, pero se puede convertir en una ecuación exacta, PORQUE al multiplicar la ecuación por el factor μ(y) = 1 / y ?

Para resolver este ejercicio y comprobar siμ(y) es el factor integrante, vamos a primero separar la ED separable.

(3xy)dx = ( - 3x²)dy

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20d%283xy%29%7D%20%7Bdy%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%28-3%20x%5E%7B2%7D%29%7D%20%7Bdx%7D" />

Resolviendo las derivadas nos queda :

3x = - 6x ; Como no se cumple la igualdad podemos verificar que la ED es inexacta.

Entonces sí μ(y) es el factor integrante, al multiplicar la ED por el debería entonces volverse Exacta.

Μ(y) = 1 / y⁻³ = y³

Entonces al multiplicar la ED quedaría como :

(3xy⁴) dx = ( - 3x²y³) dy

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%20d%283xy%5E%7B4%7D%29%7D%20%7Bdy%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%28-3%20x%5E%7B2%7Dy%5E%7B3%7D%29%7D%20%7Bdx%7D" />

Resolviendo las derivadas me queda :

12xy³ = - 6xy³

Sigue sin ser exacta por lo que μ(y) no es el factor integrante de la ED.