Las dimensiones necesarias para que el terreno tenga la mayor área posible son : 150 metros en el lado paralelo a la carretera y 112.
5 metros en los laterales.
Explicación paso a paso : La función objetivo es el área del terreno.
Si llamamos x la longitud del lado paralelo a la carretera y h la longitud de los laterales ; la función objetivo viene dada por : Área = A = xh m²
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el costo del material de cercado (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=C%3D%2818%29%28x%29%2B%282%29%2812%29h%3D5400%5Cqquad%20%5CRightarrow%5Cqquad%20h%3D%5Cfrac%7B5400-18x%7D%7B24%7D%20%3D225-%5Cfrac%7B3x%7D%7B4%7D%20" /> por tanto la función objetivo es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3Dx%5B225-%5Cfrac%7B3x%7D%7B4%7D%5D%3D225x-%5Cfrac%7B3x%5E2%7D%7B4%7D%20" /> Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función.
Esto es derivar la función e igualar a cero.
Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%E2%80%99%3D225-%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%3D0%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20225-%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%3D0%5Cquad%20%5CRightarrow%20" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbold%7Bx%3D150%7D" /> Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%27%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20" /> Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%27_%7B150%7D%3D-%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%3C0%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20x%3D150" /> es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo del lateral h : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cbold%7Bh%3D%20225-%5Cfrac%7B3%5B150%5D%7D%7B4%7D%7D%5Cqquad%20%5CRightarrow%5Cqquad%20h%3D%5Cfrac%7B225%7D%7B2%7D%3D112.5%20" /> Las dimensiones necesarias para que el terreno tenga la mayor área posible son : 150 metros en el lado paralelo a la carretera y 112.
5 metros en los laterales.