Sea la parabola Y al cuadrado - 16x = 0 Encontrar los puntos cuya longitud de sus radios focales es 13 unidades?
Sea la parabola Y al cuadrado - 16x = 0 Encontrar los puntos cuya longitud de sus radios focales es 13 unidades.
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En resumen
Los puntos cuya longitud de sus radios focales es 13 unidades son : (9, - 12) y (9, 12).
Mejor respuesta
Los puntos cuya longitud de sus radios focales es 13 unidades son : (9, - 12) y (9, 12).
Explicación : La parábola en estudio tiene ecuación : y² = 16xEs una parábola de eje horizontal cuya ecuación canónica es de la forma : (y - k)² = ±4p(x - h)donde : (h, k) es el vértice de la parábola4p es la longitud del lado rectop es la distancia, medida sobre el eje de la parábola, vértice - directriz y vértice - foco.
Comparando con la parábola dada : (h, k) = (0, 0)4p = 16 ⇒ p = 4El eje de la parábola es el eje de las x.
La parábola abre en sentido positivo ; es decir, a la derecha.
El foco estará ubicado a 4 unidades de distancia del vértice medido sobre el eje ; o sea, que : Foco = (4, 0)Para ubicar los puntos solicitados, planteamos el cálculo de la distancia (radio) desde el foco a un punto de coordenadas (x, y) ubicado en la parábola.
Distancia entre el foco y el punto (x, y) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%28x-4%29%5E%7B2%7D%2B%28y-0%29%5E%7B2%7D%7D%20%3D13%5Cright" />El punto (x, y) satisface la ecuación de la parábola, por lo que se establece el sistema de ecuaciones : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B%5Csqrt%7B%28x-4%29%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%20%3D13%7D%20%5Catop%20%7By%5E%7B2%7D%20%3D16x%7D%7D%20%5Cright" />Resolvemos por sustitución de la segunda ecuación en la primera, tomando cuadrados a ambos lados de esta ecuación y resolviendo la ecuación de segundo grado resultante : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%28x-4%29%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%20%3D13%5E%7B2%7D%7D%20%5Catop%20%7By%5E%7B2%7D%20%3D16x%7D%7D%20%5Cright%20%5Cqquad%20%5CRightarrow" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x-4%29%5E%7B2%7D%2B16x%20%3D13%5E%7B2%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20x%5E%7B2%7D-8x%2B16%2B16x%20%3D169%20%5Cqquad%20%5CRightarrow" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D%2B8x-153%3D0%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20%28x%2B17%29%28x-9%29%3D0%20%5Cqquad%20%5CRightarrow" />x = 9Al sustituir en la ecuación de la parábola se obtiene : y = ± 12Por lo tanto, los puntos cuya longitud de sus radios focales es 13 unidades son : (9, - 12) y (9, 12).
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