Al dividir un número natural n por 20 se obtiene resto 15?

1. NINGÚN Nº PRIMO.

201, 202, .

, 210.

Otras : 321, 322, .

, 330 y 511, 512, .

, 520.

2. FRACCIONES EXTRAÑAS.

Quitando en cada caso, el número repetido, el resultado es el mismo : 19 / 95 = 1 / 5 ; 26 / 65 = 2 / 5 ; 16 / 64 = 1 / 4.

3. TODOS LOS PRIMOS.

A) Termina en 0, porque P tiene los factores 2 y 5.

B) La cifra de las decenas es impar ; porque si fuera par, P sería múltiplo de 4, lo que es imposible.

4. ¿QUE NÚMERO SOY?

El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9.

5. DIVISIONES EXACTAS.

7 x 11 x 13 = 1001 > 234 x 1001 = 234234 > 234234 : 1001 = 234.

Es decir, las dos únicas operaciones que hacemos son : 1ª) Multiplicar por 1001 el número de partida.

2ª) Dividir por 1001 de forma disfrazada.

Obviamente debe dar el número de partida.

Abcabc = abc x 1001 ; abcabc / 7x11x13 = abcabc / 1001 = abc.

6. LA BASE DESCONOCIDA.

Sea b la base desconocida.

2b² + 5b + 3 = 136.

Resolviendo b = 7.

7. MENOR NÚMERO.

Sea n el número desconocido.

Ya que n dividido por 2 da resto 1, n + 1 es divisible por 2, ya que al dividir n por 3 da resto 2, n + 1 es divisible por 3, etc.

De la misma manera, n + 1 es divisible por 4, 5 y 6.

Ahora bien, el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 es 60.

Así : n + 1 = 60.

Luego n = 59.

8. PACIENCIA Y PROGRESIÓN.

219, 438, 657.

9. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS.

3. 024 no acaba ni en 0 ni en 5 ; luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10.

Si los números fueran mayores que 10, el producto sería mayor que 10.

000. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1 - 2 - 3 - 4 y 6 - 7 - 8 - 9.

Evidentemente los buscados son 6 - 7 - 8 - 9.

10. EL MENOR CON X DIVISORES.

Con 7 divisores 64.

Con 8 divisores 24.

11. LA CIFRA BORROSA.

El resultado es múltiplo de cada uno de los factores.

En particular de 11.

Si aplicamos el criterio de divisibilidad por 11 : Suma de las cifras pares : 3 + 7 + 7 + 3 + 8 + 0 = 28 Suma de las cifras impares : 1 + 0 + X + 4 + 6 + 0 + 0 + = 11 + X La diferencia de estas cantidades ha de ser 0, 11 o múltiplo de 11, la única posibilidad es que X = 6.

Podríamos haber utilizado los criterios de divisibilidad por 3 o por 9 ; pero con ellos no siempre la solución es única.

12. ACERCA DE LOS PRIMOS.

Formando el factorial de 11, tenemos que : 11!

+ 2 es divisible por 2, 11!

+ 3 es divisible por 3, .

, 11!

+ 10 es divisible por 10, 11!

+ 11 es divisible por 11, ya que el factorial de 11 es divisible por 2, 3, .

, 11, al ser factores suyos.

Por lo tanto una solución (hay infinitas), es : 39916802, 39916803, .

, 39916811.

13. EL GRAN DESFILE.

Hay que hallar el menor número que tiene exactamente 64 divisores.

El menor número es 7560 soldados.

7560 = 23335 7.

El número de divisores es : (3 + 1)(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 4 2 2 = 64.

14. CON 4 TRESES.

1 = 33 / 33 = 3 - 3 + 3 / 3, 2 = 3 / 3 + 3 / 3, 3 = (3 + 3 + 3) / 3, 4 = (3x3 + 3) / 3, 5 = 3 + (3 + 3) / 3, 6 = 3 + 3 + 3 - 3 = (3 + 3)x3 / 3, 7 = 3 + 3 + 3 / 3, 8 = 33 / 3 - 3, 9 = 3x3x3 / 3, 10 = 3x3 + 3 / 3.