Ayuda por favora resolver esta ecuación de trigonométrica2Sen2x - 2Senx - 2CosX + 1 = 0X∈[0, 2pi]?

RESOLUCIÓN.

El valor es de x = 30° y x = 150°.

Explicación.

Dada la siguiente ecuación trigonométrica :

2sen(2x) - 2sen(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Se hace un cambio a esta expresión con la siguiente relación trigonométrica :

sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

Sustituyendo :

2 * [2sen(x)cos(x)] - 2sen(x) - 2cos(x) + 1 = 0

4sen(x)cos(x) - 2sen(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Ahora se divide toda la expresión entre cos²(x).

4sen(x)cos(x) / cos²(x) - 2sen(x) / cos²(x) - 2cos(x) / cos²(x) + 1 / cos²(x) = 0 / cos²(x)

4sen(x) / cos(x) - 2sen(x) / cos(x) * 1 / cos(x) - 2 / cos(x) + 1 / cos²(x) = 0

Se sabe que :

sen(x) / cos(x) = tan(x)

1 / cos(x) = sec(x)

1 / cos²(x) = sec²(x)

Sustituyendo :

4tan(x) - 2tan(x)sec(x) - 2sec(x) + sec²(x) = 0

4tan(x) - 2tan(x)sec(x) = 2sec(x) - sec²(x)

2tan(x) * [2 - sec(x)] = sec(x) * [2 - sec(x)]

2tan(x) = sec(x)

2sen(x) / cos(x) = 1 / cos(x)

2sen(x) = 1

sen(x) = 1 / 2

x = ArcSen(1 / 2)

Como el rango es solo [0, 2π] las soluciones son :

x1 = 30°

x2 = 150°.