MatemáticasAvanzado1 respuestas

Buenas noches por favor algún experto ecuaciones diferenciales que me pueda ayudar con este problema según la pregunta muchas gracias?

Buenas noches por favor algún experto ecuaciones diferenciales que me pueda ayudar con este problema según la pregunta muchas gracias. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. Si el punto x_0 es singular regular, la ecuación r(r - 1) + p_0 r + q_0 = 0, donde p_0 = lim┬(x→x_0 )⁡(x - x_0 )f(x), q_0 = lim┬(x→x_0 )⁡〖(x - x_0 ) ^ 2 g(x)〗 se llama ecuación indicial. Los valores r solución de la ecuación indicial se llaman exponentes de la singularidad o raíces indiciales. Los valores r = 1, r = 1 / 2 son exponentes de la singularidad obtenidos de la ecuación indicial r(r - 1) - 1 / 2 r + 1 / 2 = 0 PORQUE x = - 2 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (x + 2) x ^ 2 y ^ '' - xy ^ ' + (1 + x)y = 0.

En resumen

Respuesta : La afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Teniendo la ecuación indicial r(r - 1) - 1 / 2·r + 1 / 2 = 0, r = 1 y r = 1 / 2 si son raícesindiciales ya que al sustituirlosen la ecuación se cumple la igualdad.

Mejor respuesta

Julisaantonella
10

Respuesta :

La afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.

Teniendo la ecuación indicial r(r - 1) - 1 / 2·r + 1 / 2 = 0, r = 1 y r = 1 / 2 si son raícesindiciales ya que al sustituirlosen la ecuación se cumple la igualdad.

Ademas de la ecuación indicial sabemos que p₀ = - 1 / 2 y q₀ = 1 / 2.

Sin embargo teniendo la ecuación diferencial : (x + 2)·x²·y'' - x·y' + (1 + x)·y = 0

Transformamos la ecuación en su forma estándar dividiendo todo entre el término (x + 2)·x².

Tenemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%20%2B%20%20%5Cfrac%7B-x%7D%7B%28x%2B2%29x%5E%7B2%7D%20%7D%20y%27%20%20%2B%20%20%5Cfrac%7B1%2Bx%7D%7B%28x%2B2%29%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20y%20%3D%200" />

Donde p₀ viene definido por :

p₀ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C%20xo%7D%20%28x-xo%29p%28x%29%20" />

Entonces p₀ va a ser : p₀ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C%20-2%7D%20%28x%2B2%29%20%20%5Cfrac%7B-x%7D%7B%28x%2B2%29%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%20%20%3D%20%20-1%2F2%20" />

Ahora calculamos qo, el cual viene definido por :

q₀ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C%20xo%7D%20%28x-xo%29%5E2%20q%28x%29%20" />

Entonce : q₀ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C%20-2%7D%20%28x%2B2%29%5E2%20%20%5Cfrac%7B1%2Bx%7D%7B%28x%2B2%29%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%20%3D%200" />

Se puede notar que los q₀ difiere según la ecuación indicial y la singularidad en x = - 2 , por ello es una afirmación verdadera pero la razón es falsa.