Calcule la suma de la sucesión infinita 1 - 1 / 3 + 1 / 9 - 1 / 27 + ?

En matemática, una serie es la generalización de la noción de suma aplicada a los términos de la sucesión matemática.

En términos generales, es el resultado de sumar los siguientes términos :

S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + .

Utilizando el término de sumatoria se expresaría de la siguiente forma :

S = ∑ai

Donde, i va desde 1 hasta n.

Una secuencia o sucesión finita tiene un primer y ultimo termino bien definidos, a diferencia de la sucesión infinita, en la cual cada uno de sus términos se suele obtener a partir de una determinada regla o fórmula.

Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de divergencia o convergencia de las series matemáticas sin que se realicen explícitamente los cálculos.

Para poder resolver este problema será determinar a partir de la forma de las expresiones de la sucesión, debe determinarse con que tipo de sucesión infinita se está trabajando.

En este caso estamos en presencia de una serie geométrica, ya que cada termino de la misma se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón.

En este caso la razónes r = - 1 / 3

Por otro lado también es una serie alternada por que su signo cambia con cada término.

Por lo tanto la expresión de la sumatoria quedaría de la siguiente manera :

∑<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E%7Bn%7D%20%7D%20%20" />

Con i desde 0 a∞

Como los término de la sucesión se acercan cada vez más al 0, se dice que la serie converge.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%20%5Cfrac%7Ba1%7D%7B1-r%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%7D%20" />

Lo que nos daría como resultado final de la sumatoria :

S = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20" />.