Cual es la integral de sen ^ 4xdx paso por paso por favor?

Integral indefinida :

∫ sen⁴x dx

Sabiendo que :

sen²x = (1 - cos (2x)) / 2

cos²x = (1 + cos(2x)) / 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

∫ sen⁴x dx = ∫(1 - cos (2x) / 2)² dx = ∫1 / 4 (1 - cos (2x))² dx) = 1 / 4∫(1 - 2cos(2x) + cos²(2x)) dx = 1 / 4(∫dx - ∫2 cos (2x) dx + ∫cos²(2x) dx

Resolvamos las integrales :

∫dx = x + c (Integral directa)

∫2cos (2x) dx = ∫2cos (2x) dx, haciendo u = 2x (Por sustitución)

du / dx = 2.

Dx = du / 2 = ∫2cos (u) du / 2 = ∫cos (u) du = sen u = sen (2x) + c

∫cos²(2x) dx = ∫(1 + cos(4x)) / 2 = 1 / 2 (∫dx + ∫cos (4x) dx)

∫cos (4x) dx = 1 / 4 ∫4 cos (4x) dx

u = 4x.

Du / dx = 4.

Dx = du / 4

1 / 4 ∫4 cos (u) du / 4 = 1 / 4∫cos (u) du = 1 / 4 sen (u) = 1 / 4 sen (4x)

Nos queda entonces :

∫cos²(2x) dx = 1 / 2(x + 1 / 4 sen (4x)) + c

Ahora demos respuesta a la integral planteada :

∫ sen⁴x dx = 1 / 2 (x + sen (2x) + 1 / 2(x + 1 / 4 sen (4x))) + c = 1 / 4(3x / 2 - sen (2x) + 1 / 8 sen (4x)) + c = 1 / 32(12x - 8 sen (2x) + sen (4x)) + c.