Dada la recta : Ax + By - 4 = 0?

La ecuación de la recta dada se puede escribir como,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%28x%29%3D-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7Dx%2B%5Cfrac%7B4%7D%7BB%7D" />

Para esta recta sus puntos de intersección con los ejes coordenados son,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%280%29%3D-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7D%280%29%2B%5Cfrac%7B4%7D%7BB%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7BB%7D" />

y,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D-%5Cfrac%7BA%7D%7BB%7Dx%2B%5Cfrac%7B4%7D%7BB%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7BB%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-%5Cfrac%7B4%7D%7BA%7D" />

Así que el triangulo que forma con los ejes coordenados tiene un área de,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Cfrac%7B4%7D%7BA%7D%5Cfrac%7B4%7D%7BB%7D%3D%5Cfrac%7B16%7D%7BAB%7D" />

La recta que buscamos forma un triangulo de,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7DA%3D%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7D%5Cfrac%7B16%7D%7BAB%7D%3D%5Cfrac%7B13%2A4%7D%7BAB%7D%3D%5Cfrac%7B52%7D%7BAB%7D" />

y ya que es perpendicular a la recta dada, su pendiente debe ser el recíproco negativo de la pendiente de la recta dada, es decir que es de la forma,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Cfrac%7BB%7D%7BA%7Dx%2B%5Calpha" />

donde<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha" /> es aún desconocida.

Sus puntos de intersección con los ejes coordenados son<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%5Calpha" /> y<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-%5Cfrac%7BA%5Calpha%7D%7BB%7D" />, así que el área del triangulo se puede expresar como,

[img = 10]

así que[img = 11] debe ser,

[img = 12]

y por lo tanto la ecuación de la recta es,

[img = 13].