Dados los vectores u = - 6i + 9j y v = - i + 9j es correcto afirmar que el vector w = - 11i - 9j es una combinación lineal de u y v? Justifique su respuesta. 5. 1. Sea el conjunto N = {Matrices Simétricas Cuadradas N2x2} y sea V el espacio vectorial conformado por las matrices cuadradas M2x2. Demostrar que N es un subespacio del espacio vectorial V.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 9 votos · mejor respuesta de Tavozamora
Para que el vectorwsea una combinación lineal de los vectoresuyv, se debe cumplir la definición decombinación linealde vectores :
w = k1 * u + k2 * v
donde k1 y k2 son escalares - 11i - 9j = k1 ( - 6i + 9j) + k2 ( - i + 9j)
Igualando las componentes : - 11 = - 6k1 - k2 - 9 = 9k1 + 9k2 ; - 1 = k1 + k2
Despejando k1 de la 2da ecuación :
k1 = - 1 - k2
Sustituyendo en la 1era ecuación : - 11 = - 6 ( - 1 - k2) - k2 - 11 = 6 + 6k2 - k2 - 11 - 6 = 5k2
k2 = - 17 / 5
Sustituyendo k2
k1 = - 1 - ( - 17 / 5)
k1 = ( - 5 + 17) / 5
k1 = 12 / 5
Comprobación :
2) - 1 = (12 - 17) / 5 - 1 = - 1
1) - 11 = - 6 (12 / 5) - ( - 17 / 5) - 11 = ( - 72 + 17) / 5 - 11 = - 11
Sol : k1 = 12 / 5 ; k2 = - 17 / 5
Para queNsea un subespacio del espacio vectorial deV, se debe cumplir las siguientes condiciones :
a) Siuyvson vectores deN, entonces u + v está en V
b) Si k es cualquier escalar yues cualquier vector enV, entonces kuestá enN.
U = u11 u12 ; v = v11 v12 u21 u22 v21 v22
u + v = u11 u12 + v11 v12 u21 u22 v21 v22
u + v = u11 + v11 u12 + v12 u21 + v21 u22 + v22
Se cumple, puesto que u + v es una matriz de 2x2 que también está contenida en el espacio vectorialVM2x2
ku = k u11 u12 = ku11 ku12 u21 u22 ku21 ku22
kuestá contenida enV, puesto que genera también una matriz de M2x2
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