Demostrar la irracionalidad de raíz cuadrada de 2?

Por contradicción, suponemos que √2 es racional, esto quiere decir que puedes escribir raíz de 2 como fracción

√2 = p / q

donde p y q no tienen factores en común excepto el 1 (fracción irreductible)

Luego elevando al cuadrado :

2 = p² / q²

2q² = p²

Esto quiere decir que p² es par, esto se cumple únicamente si p es par, por lo que podemos escribir p como p = 2k

Reemplazamos :

2q² = (2k)²

2q² = 4k²

q² = 2k²

Por lo que q² es par, lo que implica que q sería par.

En este caso p y q tendrían al 2 como factor común, pero desde un inicio habíamos dicho que el único factor común entre ellos era el 1, por eso hay una contradicción y √2 NO puede ser racional.