Division de polinomios con ejemplo?

Respuesta :

Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x) :

División de polinomios

División exacta de polinomios

En una división exacta de polinomios, el resto es igual a cero.

Dividir el polinomio D(x) entre el polinomio d(x) es hallar otro polinomio cociente c(x) tal que multiplicado por el divisor dé el dividendo :

División de polinomios

División exacta de polinomios

En esta caso se dice que la división es exacta y se dice que dividendo D(x) es múltiplo del divisor d(x) y del cociente c(x).

También se dice que d(x) y c(x) son divisiores del polinomio D(x).

División entera de polinomios

Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y otro como divisor d(x) :

División de polinomios

División entera de polinomios

En una división entera de polinomios, el resto es distinto de cero.

En las divisiones enteras (o inexactas), el dividendo D(x) no es múltiplo del divisor d(x), y siempre se va a cumplir la propiedad fundamental de la división :

División de polinomios

Propiedad fundamental de la división

El grado del polinomio resto R(x) es siempre menor que el grado del polinomio divisor d(x).

División de polinomios

Grado del resto

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada monomio del polinomio por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.

Para comprobar que la división está bien hecha, miramos si se cumple la propiedad fundamental de la división :

División de polinomios

Propiedad fundamental de la división

Ejemplo :

D(x) = 2x2 + x–2 d(x) = x

División de polinomios

Comprobamos ahora que se verifica la propiedad fundamental de la división :

D(x) = d(x)⋅c(x) + R(x D(x) = 2x2 + x–2 d(x)⋅c(x) + R(x) = x⋅(2x + 1)–2 = (2x2 + x)–2 = 2x2 + x–2

El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor :

División de polinomios

Grado del cociente

En nuestro ejemplo :

D(x) = 2x² + x – 2 ⇒ Grado de D(x) = 2

d(x) = x ⇒ Grado de d(x) = 1

c(x) = 2x + 1 ⇒ Grado de c(x) = 2 – 1 = 1

División de un polinomio por otro polinomio

Consideremos estos dos polinomios :

D(x) = x4–2x3–11x2 + 30x–20⇒Dividendo d(x) = x2 + 3x–2⇒Divisor

Para realizar la división de D(x) entre d(x) se procede del modo siguiente :

1.

Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma creciente.

División de polinomios

2.

Se divide el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor.

El resultado se pone en el cociente.

División de polinomios

3.

Se multiplica el cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo :

(x2 + 3x–2)⋅x2 = x4 + 3x3–2x2

Como hay que restar x4 + 3x3 + 2x2 del dividendo, le sumamos el opuesto :

–(x4 + 3x3–2x2) = –x4–3x3 + 2x2

División de polinomios

4.

Se baja el término siguiento, 30x , y se divide, como en el apartado 2, el primer monomio del dividendo ( - 5x³) por el primer monomio del divisor (x²)

−5x3÷x2 = −5x

y se coloca - 5x en el cociente

División de polinomios

5.

Se multiplica - 5x por el divisor (x² + 3x – 2) y el producto obtenido se resta del dividendo :

(x2 + 3x–2)⋅(−5x) = −5x3–15x2 + 10x

Como hay que restar - 5x³ – 15x² + 10x del dividendo, le sumamos el opuesto :

–(−5x3–15x2 + 10x) = 5x3 + 15x2–10x

División de polinomios

6.

Se baja el último término, - 20, y se divide, como los apartados 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²)

6x² ÷ x² = 6, y se coloca 6 en el cociente

División de polinomios

7.

Se multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo :

(x2 + 3x–2)⋅6 = 6x2 + 18x–12

Como hay que restar este polinomio del dividendo, le sumamos el opuesto :

−(6x2 + 18x–12) = –6x2–18x + 12

División de polinomios

Como 2x no se puede dividir por x², la división se ha terminado.

Entonces obtenemos que el polinomio cociente es :

c(x) = x2–5x + 6

y el polinomio resto es :

R(x) = 2x–8

Comprobamos que :

Grado c(x) = grado D(x) – grado d(x)

Grado c(x) = 4 – 2 = 2

y que :

D(x) = d(x)⋅c(x) + R(x) D(x) = (x2 + 3x–2)⋅(x2–5x + 6) + (2x–8) = x4–2x3–11x2 + 30x–20Explicación paso a paso : espero que te sirva.