Ecuación de la circunferencia que pasa por el punto ( - 2, 1) y es tangente a la recta 3x - 2y - 6 = 0 en el punto (4, 3)?
Ecuación de la circunferencia que pasa por el punto ( - 2, 1) y es tangente a la recta 3x - 2y - 6 = 0 en el punto (4, 3).
Calculadora: Calculadora de ecuaciones de segundo grado
Calculadora interactiva
ax² + bx + c = 0
En resumen
La circunferencia se representa por la siguiente ecuación : (x - h)² + (y - k)² = r² ; ( 1 )donde : h, k representan las coordenadas del centro de la circunferencia y r el radio.
Mejor respuesta
3
La circunferencia se representa por la siguiente ecuación :
(x - h)² + (y - k)² = r² ; ( 1 )donde : h, k representan las coordenadas del centro de la circunferencia y r el radio.
El centro de la circunferencia se encuentra sobre una recta que es perpendicular a la recta dada, la cual pasa por el punto (4, 3)
Sea la recta dada 3x - 2y - 6 = 0Despejando y : y = 3 / 2x - 3 ; ( 2 )La ecuación de una recta tiene la forma : y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b el corte de la recta con el eje y.
De esta manera, la recta dada tiene una pendiente m = 3 / 2.
En este sentido, la recta perpendicular que pasa por el centro de la circunferencia tendrá una pendiente m = - 3 / 2
Entonces se puede determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 3) y por el centro de la circunferencia : (y - 4) / (x - 3) = - 3 / 2 ⇒ y - 4 = - 3 / 2(x - 3) = - 3 / 2x + 9 / 2
∴ y = - 3 / 2x + 17 / 2 ; ( 3 )
Ahora se determinará el punto que define el centro de la circunferencia, apoyados por los resultados anterioresLos puntos ( - 2, 1) y (4, 3) pertenecen a la circunferencia.
Entonces reemplazando en ec.
, ( 1 ) : ( - 2 - h)² + (1 - k)² = r² ; ( 4 )(4 - h)² + (3 - k)² = r² ; ( 5 )
Igualmente, el centro (h , k ), pertenece a la recta representada por ec.
( 3 ).
Reemplazándolo, tenemos : y = - 3 / 2x + 17 / 2 ⇒ k = - 3 / 2h + 17 / 2 ; ( 6 )
Igualando las ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ) y reemplazando k de ec.
( 6 ) se tiene : ( - 2 - h)² + (1 - k)² = (4 - h)² + (3 - k)²4 - 4h + h² + 1 - 2k + k² = 16 - 8h + h² + 9 - 6k + k²5 - 4h - 2k = 25 - 8h - 6k ; 4h + 4k = 20 ( 7 )
Reemplazando ( 6 ) en ( 7 ) : 4h + 4( - 3 / 2h + 17 / 2) = 20 ⇒ 4h - 6h + 34 = 20 ; ∴ h = 7 Reemplazando h en ec.
( 7 ) se obtiene k : 4h + 4k = 20 ⇒ 4 * 7 + 4k = 20 ∴ k = - 2
Reemplazando h y k, y el punto (4 , 3) en la ec.
( 1 ) se obtiene r² : (4 - 7)² + (3 + 2)² = r² ⇒ r² = 9 + 25 ∴ r² = 34
Por lo que la ecuación de la circunferencia buscada es :
(x - 7)² + (y + 2)² = 34
A tu orden.
Otras 1 respuestas
Respuesta 2
Respuesta : La respuesta del compañero anterior esta muy mal, ni si quiera el punto ( - 2, 1), pertenece a la ecuación que dio el compañero VAGL92, se demuestra sencillamente graficando en geogebra, y aun así tiene 21 gracias y esta verificada.
Respuesta correctaLa respuesta correcta es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D%20%29%5E%7B2%7D%20%2B%28y-%5Cfrac%7B41%7D%7B7%7D%29%5E%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1300%7D%7B49%7D" />Explicación paso a paso : Procedimiento (agarre partes de la otra respuesta de VAGL92 para no escribir todo)La circunferencia se representa por la siguiente ecuación :
(x - h)² + (y - k)² = r² ; ( 1 )
donde : h, k representan las coordenadas del centro de la circunferencia y r el radio.
El centro de la circunferencia se encuentra sobre una recta que es perpendicular a la recta dada, la cual pasa por el punto (4, 3)
Sea la recta dada 3x - 2y - 6 = 0
Despejando y :
y = 3 / 2x - 3 ; ( 2 )
La ecuación de una recta tiene la forma :
y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b el corte de la recta con el eje y.
De esta manera, la recta dada tiene una pendiente m = 3 / 2.
En este sentido, la recta perpendicular que pasa por el centro de la circunferencia tendrá una pendiente m = - 2 / 3
Entonces se puede determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 3) y por el centro de la circunferencia, por lo que es : 2x + 3y - 17 = 0 ecu(3)
Ahora se determinará el punto que define el centro de la circunferencia, apoyados por los resultados anteriores
Los puntos ( - 2, 1) y (4, 3) pertenecen a la circunferencia.
Entonces reemplazando en ec.
, ( 1 ) :
( - 2 - h)² + (1 - k)² = r² ; ( 4 )
(4 - h)² + (3 - k)² = r² ; ( 5 )
Igualmente, el centro (h , k ), pertenece a la recta representada por ec.
( 3 ).
Reemplazándolo, tenemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Cfrac%7B-3k%2B17%7D%7B2%7D" />Resolviendo las ecuaciones nos da : k = 41 / 7 y h = - 2 / 7 Reemplazando h y k, y el punto (4 , 3) en la ec.
( 1 ) se obtiene r² :
r² = 1300 / 49 Adjunto las imágenes de mi respuesta graficada y la respuesta del compañero VAGL92, para que vean como esta mal y mi respuesta esta bien, ustedes también lo pueden graficar para comprobar.
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