En la siguiente figura las semicircunferencias son de radio 2 y forman un ángulo recto en su intersección, calcula el área sombreada. .
En resumen
Empezamos, para demostrar que el área sombreada es 8, encarando el problema tomando para las dos semicircunferencias un sistema de coordenadas cuyo origen es el cuadrado negro abajo a la izquierda.
Empezamos, para demostrar que el área sombreada es 8, encarando el problema tomando para las dos semicircunferencias un sistema de coordenadas cuyo origen es el cuadrado negro abajo a la izquierda.
De este modo si queremos hallar las ecuaciones paramétricas de las semicircunferencias, estas son : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=C_1%3A%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D2%2B2.cos%28t%29%7D%20%5Catop%20%7By%3D2sen%28t%29%7D%7D%2C%200%5Cleq%20t%5Cleq%5Cpi%20%20%20%5Cright.%20%5C%5C%5C%5CC_2%3A%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%3D2.cos%28u%29%7D%20%5Catop%20%7By%3D2%2B2sen%28u%29%7D%7D%2C%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5Cleq%20u%5Cleq%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%20%20%5Cright." />Para hallar el punto de intersección igualo las ecuaciones : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%2B2.cos%28t%29%3D2.cos%28u%29%5C%5C2sen%28t%29%3D2%2B2sen%28u%29%5C%5C%5C%5Ccos%28u%29-cos%28t%29%3D1%5C%5Csen%28t%29-sen%28u%29%3D1" />Si las semicircunferencias son perpendiculares en su punto de cruce queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=u-t%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D" />Con lo que de esta manera deducimos que el punto de cruce es (2, 2)Para hallar el área por integrales tendríamos que hacer coordenadas polares, de lo contrario quedarían integrales muy complejas.
Por eso vamos a hacerlo de forma geométrica.
Descomponemos el área horizontal en 2 áreas que se muestran en la imagen adjunta.
En ella ya sabemos que el área azul es un cuarto de circunferencia, por tanto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_a%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20r%5E2%7D%7B4%7D" />Ahora tenemos que hallar el área verde de la imagen.
Sabemos que con el área sombreada en naranja forman un cuadrado de lado igual al radio, y que esta última es un cuarto de circunferencia igual al azul (porque las dos semicircunferencias son iguales).
Queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7BVer%7D%3Dr%5E2-A_%7BNar%7D%3Dr%5E2-%5Cfrac%7B%5Cpi%20.r%5E2%7D%7B4%7D" />Ahora para hallar el área sombreada horizontal no hay más que sumar el área verde y el área azul : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_s%3DA_a%2BA_v%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20r%5E2%7D%7B4%7D%2Br%5E2-%5Cfrac%7B%5Cpi%20.r%5E2%7D%7B4%7D%3Dr%5E2" />El área sombreada vertical es idéntica al área horizontal, para verlo basta "volcar" la figura hacia la izquierda y luego espejarla para obtener la misma figura.
Nos queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D2A_s%3D2r%5E2%3D2.2%5E2%3D8" />Con lo que el valor del área sombreada es igual a 8.
Se traza una altura en el triangulo y se define q la altura es igual a 48 / 5 ya q 12 vale 5k por el triangulo notable de 37 y 53 luego se halla el area del triangulo : 48 / 5 por 20 y todo entre 2 el area sale 96 ahora…
Operación : πxr2 A = 3. 14x36x36 = 2376 operación 2 : πxr2 A = 3. 14x31. 1x31. 1 los resultados los sumas , osea 2376 a lo que te salga de la operación dos.
Valor de π = 3. 1416 Del primero : A. Rectangulo - A. Semicircunferencia (16 * 8) - (π * 8 ^ 2) / 2 128 - (3. 1416 * 64) / 2 128 - (201. 5312) / 2 128 - 100. 5312 27. 4688 cm ^ 2 Del segundo : A. Rectangulo - A.…
La respuesta es 2. 25.