Encuentra dos numeros m y n que cumplan las siguientes condiciones - el producto es 11 y su suma 12 - la suma es 20 y el producto - 44 - el producto es - 14 y su suma 5?

Las congruencias fueron introducidas formalmente porK.

F. Gaussen su obraDisquisitiones Arithmeticaepara estudiar problemas aritméticos relacionados con la divisibilidad, aunque posteriormente se han aplicado a muchos de los problemas de la teoría de números.

Sean a y b números enteros y m>0 un número natural.

Diremos que a y b son congruentes modulo m si m divide a a - b, y lo designaremos como

a = b (mod m).

Por ejemplo, los números que son congruentes a 0 módulo m son exactamente los múltiplos de m.

La congruencia es una relación de equivalencia, puesto que verifica las propiedades reflexiva

a = a (mod m), simétricaa = b (mod m) si y solo si b = a (mod m), y transitivaa = b (mod m) y b = c (mod m), entonces a = c (mod m), como se puede comprobar fácilmente.

Así podemos agrupar los números enteros en familias disjuntas formadas por los números que son congruentes módulo m ; obtenemos exactamente m familias, llamadas las clases de congruencia de m : son las familias de números congruentes con i módulo m variando i entre 0 y m - 1.

Por ejemplo, las clases de congruencia módulo 2 son exactamente dos familias, la de los números pares y la de los números impares.

De la misma forma, hay exactamente 3 clases de congruencia módulo 3, formados por los números múltiplos de 3, los números múltiplos de 3 mas 1 y los números múltiplos de 3 mas 2 (o menos 1).

Designaremos porZ / mZ(zeta módulo m) las clases de congruencia módulo m ; tenemos así, por ejemplo, que

Z / 3Z = { 0, 1, 2 }.

Las propiedades más importantes de las congruencias es que respetan la suma y la multiplicación de números enteros :

Si a = b (mod m) y c = d (mod m), entonces a + c = b + d (mod m)

Si a = b (mod m) y c = d (mod m), entonces ac = bd (mod m).