Hallar la ecuacion de la circunferencia inscripta a los triangulos de lados 4x - 3y - 65 = 0 7x - 24y + 55 = 0 3x + 4y - 5 = 0?

La distancia desde el centro hasta cada recta debe ser la misma.

Las coordenadas del centro son (h, k)

1) distancia ala recta 1 : r = (4 h - 3 k - 65) / 5

2) distancia a la recta 2 : r = (7 h - 24 k + 55) / 25

3) distancia a la recta 3 : r = (3 h + 4 k - 5) / 5

Hay un problema : cada uno de los denominadores puede ser positivo o negativo.

Debe elegirse cada signo de modo que r sea positivo.

Dejemos los tres positivos.

Entre 1), 2) y 3) hay un sistema de ecuaciones.

Resolviendo : h = 32, k = - 4, r = 15

Hay una circunferencia : (x - 32)² + (y + 4)² = 225

En la gráfica adjunta se aprecia que no es la solución

Hacemos negativo en la primera :

r = (4 h - 3 k - 65) / ( - 5)

Resultan ahora : h = 10, k = 0, r = 5

(x - 10)² + y² = 25 es la solución

Lamentablemente el problema es de extensa solución.

Hay que dibujar las tres rectas y verificar que el centro quede en el interior del triángulo.

Adjunto una gráfica con las dos circunferencias halladas.

(habrían más)

Las dos son tangentes a las rectas pero solamente una de elles es la interior al triángulo.

Saludos Herminio.