Hallar tres numeros en progresion aritmetica cuya suma sea 48 y la correspondiente a sus cuadrados 800?
Hallar tres numeros en progresion aritmetica cuya suma sea 48 y la correspondiente a sus cuadrados 800.
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Sea c la constante de la sucesión es decir el valor absoluto de la diferencia entre dos términos sucesivos :
Sea x el primero de los 3 números :
(x) + (x + c) + (x + 2c) = 48
(x)² + (x + c)² + (x + 2c)² = 800
x + x + c + x + 2c = 48
3x + 3c = 48
x + c = 16
c = 16 - x
x² + (x + 16 - x)² + (x + 2(16 - x))² = 800
x² + 16² + (32 - x)² = 800
x² + 256 + 1024 - 64x + x² = 800
2x² - 64x + 480 = 0
x² - 32x + 240 = 0
(x - 12)(x - 20) = 0
x - 12 = 0
x = 12
x - 20 = 0
x = 20
Entonces :
x + c = 16 x + c = 16
20 + c = 16 12 + c = 16
c = - 4 c = 4
Entonces los números :
20
20 - 4 = 16
20 - 8 = 12
12, 16 y 20
12
12 + 4 = 16
12 + 8 = 20
12, 16 y20.
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0
Entonces tenemos algo así :
Por si no conoces la fórmula de progresión aritmética es ésta :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7Bn%7D%3Da_%7B1%7D%2B%28n-1%29d%20%5C%5C%20%20%5C%5CApliquemos%3A%20%5C%5C%20%20%20a_%7B1%7D%3D%20a_%7B1%7D%20%5C%5C%20%20a_%7B2%7D%3Da_%7B1%7D%2Bd%20%5C%5C%20a_%7B3%7D%3Da_%7B1%7D%2B2d%20%20%20%20%5C%5C%20Suma%3A%20%5C%5C%20a_%7B1%7D%2Ba_%7B2%7D%2Ba_%7B3%7D%3D48%20%5C%5C%20a_%7B1%7D%2B%28a_%7B1%7D%2Bd%29%2B%28a_%7B1%7D%2B2d%29%3D48%20%5C%5C%203a_%7B1%7D%2B3d%3D48%20%5C%5C%20a_%7B1%7D%2Bd%3D16%20%5C%5C%20pero%20%20%5C%5C%20a_%7B1%7D%2Bd%3Da_%7B2%7D%3D16" /> de aquí despejemos
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7B1%7D%2Bd%3D16%20%5C%5C%20%20a_%7B1%7D%3D16-d%20%20" />
ahora apliquemos la segunda condición que nos dice.
Y reemplacemos lo que ya conocemos
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28a_%7B1%7D%29%5E%7B2%7D%20%2B%28a_%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%2B%28a_%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%20%3D800%20%5C%5C%20%28a_%7B1%7D%29%5E%7B2%7D%20%20%2B%28a_%7B1%7D%2Bd%29%5E%7B2%7D%2B%28a_%7B1%7D%2B2d%29%5E%7B2%7D%20%20%3D800%20%5C%5C%20%28a_%7B1%7D%29%5E%7B2%7D%20%2B%20%2816%29%5E%7B2%7D%2B%2816-d%2B2d%29%5E%7B2%7D%20%3D800%20%5C%5C%20%20%28a_%7B1%7D%29%20%5E%7B2%7D%2B256%2B%2816%2Bd%29%20%5E%7B2%7D%3D800%20%5C%5C%20%20%20%20%2816-d%29%20%5E%7B2%7D%20%2B%2816%2Bd%29%20%5E%7B2%7D%3D544%20%5C%5C%20256-32d%2B%20d%5E%7B2%7D%2B256%2B32d%2B%20d%5E%7B2%7D%3D544%20%5C%5C%202%20d%5E%7B2%7D%20%20%20%2B512%3D544%20%5C%5C%202%20d%5E%7B2%7D%20%3D32%20%5C%5C%20%20d%5E%7B2%7D%3D16%20%5C%5C%20%20d_%7B1%7D%20%3D%2B4%20%20%5C%5C%20%20d_%7B2%7D%20%3D-4" />
como sabrás la raíz siempre tiene una parte negativa y la otra positiva, entonces se debe tener cuidado y ver cual de los dos es que que necesitamos.
Pero si te das cuenta, o no sé me da lo mismo como que la d = 4 o d = - 4 puesto que como verás.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7B1%7D%3D%20a_%7B1%7D%20%5C%5C%20%20a_%7B2%7D%3D%20a_%7B1%7D%2Bd%3D16%20%5C%5C%20%2016%3D%20a_%7B1%7D%2B4%20%5C%5C%20%20a_%7B1%7D%3D12%20%5C%5C%20ademas%20%5C%5C%20%20a_%7B3%7D%3D%20a_%7B1%7D%2B2d%3D12%2B2%284%29%3D20%20%5C%5C%20Entonces%20%5C%5C%20%20a_%7B1%7D%3D12%20%5C%5C%20%20a_%7B2%7D%3D16%20%5C%5C%20%20a_%7B3%7D%3D20%20%5C%5C%20sumemos%3A48" /> y nos da.
Pero si usamos el - 4 nos va a dar al revés la sucesión, es decir primero 20, luego 16, y luego 12 y la suma es 48 entonces nos sirve cualquiera de las dos.
Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.
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