Integral de secante al cubo?

∫ sec³ [x] dx = ∫ sex [x] * sec² [x] dx

➊ Resolvemos por Integración por Partes, cuya Formula es

∫u dv = u v - ∫v du

Donde :

▀▀▀▀▀▀▀

u = sec [x]…………….

Dv = sec² [x]

du = sec[x] tan[x] …….

V = tan [x]

➋ Resolvemos :

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] tan² [x] dx

➌ Utilizamos la siguiente Identidad

tan² [x] = sec² [x] – 1

➍ Sustituimos en Integral

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] tan² [x] dx

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec [x] [sec² [x] – 1] dx

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ [sec³ [x] + sec [x] ] dx

➎ Ahora tenemos 2 Integrales más

∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] - ∫ sec³ [x] dx + ∫ sec [x] dx

➏ Como puedes ver la 1ra integral que tenemos, es igual a la integral original, por lo cual la mandamos de lado izquierdo de la igualdad, pero con signo contrario, la 2da integral la resolvemos

∫ sec³ [x] dx + ∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] + Ln [ sec [x] + tan [x]

➐ Sumamos integrales y el [2], que multiplica a las integrales lo pasamos del otro lado de la igualad, pero dividiendo

2 ∫ sec³ [x] dx = sec [x] tan [x] + Ln [ sec [x] + tan [x]

∫ sec³ [x] dx = [½] sec [x] tan [x] + [ ½ ] Ln [ sec [x] + tan [x] + C

Este es el Resultado

▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

∫ sec³ [x] dx = [½] sec [x] tan [x] + [ ½ ] Ln [ sec [x] + tan [x] + C.