La cantidad de números de cuatro cifras que son cuadrados perfectos y múltiplos de cinco o seis es2223242526?

¡Buenas!

Tema : Cuadrados perfectos<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextbf%7BProblema%20%3A%7D" />Encuentre la cantidad de números de cuatro cifras que son cuadrados perfectos y múltiplos de cinco o múltiplos de seis.

RESOLUCIÓNSi se trata de un número <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextrm%7BN%7D" /> que es de cuatro cifras ello implica <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1000%20%5Cleq%20%5Ctextrm%7BN%7D%20%3C%2010000" /> y como <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextrm%7BN%7D" /> es un cuadrado perfecto, podemos decir <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextrm%7BN%7D%20%3D%20n%5E%7B2%7D" />.

Con esto <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1000%20%5Cleq%20n%5E%7B2%7D%20%3C%2010000%5C%20%5Cto%5C%2031%2C62...%20%5Cleq%20n%20%3C%20100" />.

Es decir <img src="https://tex.z-dn.net/?f=n" /> se encuentra desde <img src="https://tex.z-dn.net/?f=32" /> hasta <img src="https://tex.z-dn.net/?f=99" />, no olvide que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=n" /> es un entero.

Además por condición [img = 10] debe ser múltiplo de [img = 11], es decir, [img = 12] en otros términos [img = 13] y esto solo es posible si [img = 14] análogamente [img = 15] también puede ser un múltiplo de [img = 16], en consecuencia [img = 17] y esto solo es posible si [img = 18].

Si queremos hallar la cantidad valores de [img = 19] para los cuales es cuadrado perfecto, y además es múltiplo de [img = 20] o de [img = 21], solo es suficiente con hallar los valores de [img = 22].

Empecemos con los valores de [img = 23] que son múltiplo de [img = 24].

Bien sabemos que [img = 25] se encuentra necesariamente desde [img = 26] hasta [img = 27] y si es múltiplo de [img = 28] entonces su última cifra termina en cero o cinco.

Con esto es más sencillo hallar los valores de [img = 29].

[img = 30]Ahora de manera análoga encontremos los valores de [img = 31] que son múltiplo de [img = 32].

[img = 33]Con esto ya tenemos todos los valores de [img = 34] para los cuales se cumple la condición del problema.

Notemos que hay valores que se repiten, debemos contar solo uno de dichos valores, ya que de no hacerlo estaríamos contando de más.

Contando nos daremos cuenta que existen [img = 35] valores para [img = 36] y por ende para [img = 37].

RESPUESTA [img = 38].