La suma de los cuatro términos de una proporción geometría es 65 ; si cada uno de los términos es 2 / 3 del precedente, ¿cual es el ultimo termino?

No es una proporción sino una progresión GEOMÉTRICA (PG)

Identifico primero los datos que nos dan.

Razón .

R = 2 / 3

(número por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente)

Nº de términos de la PG .

N = 4

Suma de los 4 términos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D65" />

Y nos piden el cuarto término a₄

Se plantea un sistema de ecuaciones basado en la fórmula del término general y de la suma de términos.

Término general de una PG

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2A%20r%5E%7Bn-1%7D%20%5C%20%5C%20%5C%20sustituyendo%5C%20%20los%5C%20%20datos%5C%20conocidos...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_4%3Da_1%2A%20%28%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%29%5E%7B4-1%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_4%3Da_1%2A%20%5Cfrac%7B8%7D%7B27%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_1%3D%20%5Cfrac%7B27a_4%7D%7B8%7D%20" />

Ahí queda a₁ despejado.

Voy a por la otra ecuación basada en la fórmula de la suma de términos de cualquier PG.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7Ba_n%2Ar%5C%20-a_1%7D%7Br-1%7D%20%5C%20%5C%20%5C%20sustituyo%5C%20los%5C%20datos%5C%20conocidos...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2065%3D%20%5Cfrac%7Ba_4%2A%28%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%29%5C%20-a_1%7D%7B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D-1%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2065%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B2a_4%7D%7B3%7D%20%5C%20-a_1%7D%7B%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20-%5Cfrac%7B65%7D%7B3%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B2a_4-3a_1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20-65%3D2a_4-3a_1%20%5C%5C%20%20%5C%5C%203a_1%3D2a_4%2B65%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_1%3D%20%5Cfrac%7B2a_4%2B65%7D%7B3%7D%20" />

Ahí te queda también despejada a₁ en esta segunda ecuación y con el sistema de ecuaciones planteadosólo queda resolver por el método de igualación para obtener el valor de a₄ que es lo que pide el ejercicio.

Saludos.