Me pueden ayudar con esta ecuacion : 2e ^ {4x} + e ^ {3x} + e ^ {2x} + 11e ^ {x} - 6 = 0Gracias de antemano?

Primero podes hacer un cambio de variable, por ejemplo y = e ^ x

Entonces tu ecuación se convierte en 2y ^ 4 + y ^ 3 + y ^ 2 + 11y - 6 = 0

Entonces tenes un polinomio de grado 4, podes buscar a ver si tiene raíces evidentes, voy probando y veo que 0, 1, 2 no son raíces del polinomio, - 1 tampoco pero - 2 si lo es.

Entonces divido el polinomio por y + 2, por ejemplo usando Ruffini 2 1 1 11 - 6 + + + + + - 2 - 4 6 - 14 6 2 - 3 7 - 3 0

Entonces 2y ^ 4 + y ^ 3 + y ^ 2 + 11y - 6 = (y + 2)(2y ^ 3 - 3y ^ 2 + 7y - 3) = 0

Sabemos que una de las respuestas posibles es y = - 2

Ahora buscamos para que valores de y se cumple que2y ^ 3 - 3y ^ 2 + 7y - 3 vale 0

1 / 2 es otra de las raíces evidentes (en general cuando uno tiene un polinomio de grado mayor a 2, puede probar con alguna de las raíces pequeñas enteras como 1, 2, 3, 4 también con las negativas - 1, - 2, - 3, - 4 con el cero En este caso no funcionaron así que probé con alguna fracción y el 1 / 2 funcionó)

Entonces divido el polinomio 2y ^ 3 - 3y ^ 2 + 7y - 3 por y - 1 / 2 usando Ruffini 2 - 3 7 - 3 + + + +

1 / 2 1 - 1 3 2 - 2 6 0

Luego 2y ^ 3 - 3y ^ 2 + 7y - 3 = (y - 1 / 2)(2y ^ 2 - 2y + 6) = 0

Sabemos que una de las respuestas es y = 1 / 2

Ahora buscamos para que valores de y se cumple que 2y ^ 2 - 2y + 6vale 0

Para ello uso la fórmula de la resolvente y = 2 + - raízde(4 - 4 * 2 * 6) todo sobre 2 * 2 es decir y = 2 + - raízde( - 44) todo sobre 4

Como (en reales) no hay raíces de números negativos, si queres encontrar valores de x reales solo te sirven los valores de y = - 2 e y = 1 / 2

Para estos dos valores, busco los valores de x correspondientes sabiendo que y = e ^ x

Entonces para y = - 2 queda e ^ x = - 2 En este caso no hay ningún valor de x que me sirva, ya que la exponencial siempre es positiva, nunca va a darnos un valor negativo, entonces no hay ningún valor de x que cumpla e ^ x = - 2

Para y = 1 / 2 queda e ^ x = 1 / 2 Para despejar x aplico logaritmo natural a ambos lados de la igualdad, queda ln(e ^ x) = ln(1 / 2) es decir x = ln(1 / 2) lo cual es aproximadamente - 0.

693147181.