Principales propiedades de la distribucion de gauss ?

Hola.

Algunas propiedades de la distribución normal son las siguientes : Es simétrica respecto de su media, { \ displaystyle \ mu } ; Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N(μ, σ2).

Lamoday lamedianason ambas iguales a la media, { \ displaystyle \ mu } ; Lospuntos de inflexiónde la curva se dan para{ \ displaystyle x = \ mu - \ sigma }y{ \ displaystyle x = \ mu + \ sigma }.

Distribución de probabilidad en un entorno de la media : en el intervalo{ \ displaystyle [ \ mu - \ sigma , \ mu + \ sigma ]}se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68, 26% de la distribución ; en el intervalo{ \ displaystyle [ \ mu - 2 \ sigma , \ mu + 2 \ sigma ]}se encuentra, aproximadamente, el 95, 44% de la distribución ; por su parte, en el intervalo{ \ displaystyle [ \ mu - 3 \ sigma , \ mu + 3 \ sigma ]}se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99, 74% de la distribución.

Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento deintervalos de confianza.

Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.

Si{ \ displaystyle X \ sim N( \ mu , \ sigma ^ {2})}y{ \ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R} }, entonces{ \ displaystyle aX + b \ sim N(a \ mu + b, a ^ {2} \ sigma ^ {2})}.

Si{ \ displaystyle X \ sim N( \ mu _{X}, \ sigma _{X} ^ {2})}e{ \ displaystyle Y \ sim N( \ mu _{Y}, \ sigma _{Y} ^ {2})}son variables aleatorias normalesindependientes, entonces : Su suma está normalmente distribuida con{ \ displaystyle U = X + Y \ sim N( \ mu _{X} + \ mu _{Y}, \ sigma _{X} ^ {2} + \ sigma _{Y} ^ {2})}(demostración).

Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).

Su diferencia está normalmente distribuida con{ \ displaystyle V = X - Y \ sim N( \ mu _{X} - \ mu _{Y}, \ sigma _{X} ^ {2} + \ sigma _{Y} ^ {2})}.

Si las varianzas deXeYson iguales, entoncesUyVson independientes entre sí.

Ladivergencia de Kullback - Leibler, { \ displaystyle D{ \ rm {KL}}(X \ |Y) = {1 \ over 2} \ left( \ log \ left({ \ sigma _{Y} ^ {2} \ over \ sigma _{X} ^ {2}} \ right) + { \ frac { \ sigma _{X} ^ {2}}{ \ sigma _{Y} ^ {2}}} + { \ frac { \ left( \ mu _{Y} - \ mu _{X} \ right) ^ {2}}{ \ sigma _{Y} ^ {2}}} - 1 \ right).

}Si{ \ displaystyle X \ sim N(0, \ sigma _{X} ^ {2})}e{ \ displaystyle Y \ sim N(0, \ sigma _{Y} ^ {2})}son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces : Su producto{ \ displaystyle XY}sigue una distribución con densidad{ \ displaystyle p \ , }dada por{ \ displaystyle p(z) = { \ frac {1}{ \ pi \ , \ sigma _{X} \ , \ sigma _{Y}}} \ ; K_{0} \ left({ \ frac {|z|}{ \ sigma _{X} \ , \ sigma _{Y}}} \ right), }donde{ \ displaystyle K_{0} \ , }es unafunción de Bessel modificada de segundo tipo.

Su cociente sigue unadistribución de Cauchycon{ \ displaystyle X / Y \ sim \ mathrm {Cauchy} (0, \ sigma _{X} / \ sigma _{Y}) \ , }.

De este modo la distribución de Cauchy es un tipo especial dedistribución cociente.

Si{ \ displaystyle X_{1}, \ dots , X_{n}}son variables normales estándar independientes, entonces{ \ displaystyle X_{1} ^ {2} + \ cdots + X_{n} ^ {2}}sigue unadistribución χ²conngrados de libertad.

Si{ \ displaystyle X_{1}, \ dots , X_{n}}son variables normales estándar independientes, entonces lamedia muestral{ \ displaystyle { \ bar {X}} = (X_{1} + \ cdots + X_{n}) / n}y lavarianza muestral{ \ displaystyle S ^ {2} = ((X_{1} - { \ bar {X}}) ^ {2} + \ cdots + (X_{n} - { \ bar {X}}) ^ {2}) / (n - 1)}son independientes.

Esta propiedadcaracterizaa las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué eltest - Fno es robusto respecto a la no - normalidad).