¿Puedes descomponer la figura dada, en otras similares a ella, pero más pequeñas?

Respuesta : Si bien las figuras geométricas son un importante soporte intuitivo para el desarrollo de actividades geométricas, no es obvio ni espontáneo que en la resolución de un problema matemático los educadores y estudiantes hagan de ellas elementos claves para realizar exploraciones heurísticas.

Por el contrario, múltiples investigaciones evidencian la complejidad de tal aprovechamiento y el requerimiento de un aprendizaje específico.

En este artículo se destacan, entre otros, los procedimientos - cognitivamente potentes y económicos - realizados por un grupo de estudiantes que, habiendo participado de una secuencia de enseñanza sobre maneras de transformar figuras geométricas, luego realizaron actividades de comparación de figuras según sus cantidades de área.

Explicación paso a paso : De acuerdo con Duval (1998), la enseñanza y el aprendizaje de la geometría involucran, como mínimo, tres actividades cognitivas : la construcción, que alude al diseño de configuraciones mediado por instrumentos geométricos ; el razonamiento relacionado con procesos discursivos y la visualización, cuya atención recae en las representaciones espaciales.

Cada actividad tiene funciones epistemológicas distintas ; la visualización, por ejemplo, permite la ilustración de proposiciones, la exploración heurística de situaciones complejas, miradas sinópticas sobre ellas y verificaciones subjetivas.

Si bien cada una puede ser aprendida o enseñada de manera independiente o separada, la articulación entre ellas es requisito ineludible para asegurar el aprendizaje de la geometría.

Para lograr que haya sinergia entre esas actividades, es necesario, en primera instancia, separar las diferentes maneras de ver que subyacen a su aprendizaje y luego diferenciar los tipos de razonamiento que conviven en el aprendizaje de esta disciplina, lo uno y lo otro es lo que da base para el aprendizaje de las construcciones.

La visualización, pues, se impone como elemento crucial en la enseñanza y aprendizaje de la geometría.

Entre los distintos tipos de representaciones que se movilizan en la geometría, las figuras juegan un papel determinante, pues constituyen un importante soporte intuitivo para la actividad geométrica (Duval, 1999).

Como todo tipo de sistema de representación semiótico, los requeridos por la geometría exigen la puesta en acto de dos clases de transformación para asegurar la comprensión de los objetos matemáticos en que se reflexiona : la conversión y el tratamiento, este último interior, la primera exterior al sistema de representación en juego (Duval, 1999).

Para describir cuál es el aporte heurístico de una figura en el desarrollo de una actividad matemática, es necesario distinguir el tipo de aprehensión susceptible de sugerir la solución al problema planteado.

Duval (1995) mostró que una figura puede dar lugar a aprehensiones de naturaleza diferente : perceptual (identificación perceptiva espontánea), operatoria (transformación heurística de las figuras) y discursiva (reconocimiento de unidades figurales y variabilidad dimensional intrafigural).

Y que en algunos casos estas formas de discriminación se subordinan unas a las otras, se relacionan y, en otros, se oponen (Duval, 2003).

El interés de la presente investigación recae en la segunda de estas aprehensiones y en los cambios de focalización bidimensionales que se introducen sobre una figura al desarrollar una tarea geométrica.

Enseguida describimos estos elementos conceptuales.