Que es racionalizar y como se realiza si el denominador es monomio o polinomio, 2 ejemplos, plisssssssssssssssssssssssss, manito arriba?

Racionalizar es un método que se aplica en las fracciones para quitar las raíces que haya en su denominador, todo esto para simplificar las operaciones ya que nadie quiere raíces en el denominador de una fracción.

- Monomio.

Vamos a racionalizar la siguiente fracción que tiene un monomio en denominador.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3x%2B4%7D%7B%20%5Csqrt%7B4x%7D%20%7D%20" />

Vamos a multiplicar toda la fracción principal por una fracción que tenga en el numerador y en el denominador la raíz que queremos quitar, de la siguiente manera.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3x%2B4%7D%7B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%20" />

Realmente no estamos afectando en nada la fracción ya que la estamos multiplicando por 1, si en una fracción tenemos lo mismo en el numerador y en el denominador, esa fracción es un 1, por eso este método es totalmente válido, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%20%5Csqrt%7B3x%7D%7D%7B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%20%3D%201" />.

Simplemente terminamos de resolver y la racionalización nos queda así.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3x%2B4%7D%7B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%5C%5C%20%5C%5C%0A%20%5Cfrac%7B%283x%2B4%29%2A%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%7B%28%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%29%5E2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%20%5Cfrac%7B3x%20%5Csqrt%7B3x%7D%2B4%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%20%7D%7B3x%7D%20" /> - Polinomio.

Para racionalizar un polinomio se aplica el mismo procedimiento pero debemos conocer muy bien el tema de productos notables.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3x%7D%7B%20%5Csqrt%7B7x%5E2%7D%2B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%20%7D%20" />

Hay un producto notable que se llama "Diferencia de cuadrados" el cual costa de lo siguiente, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2By%29%2A%28x-y%29%20%3D%20x%5E2-y%5E2" />, este producto notable nos va a servir para racionalizar esta fracción.

Lo que tenemos que hacer para que el denominador de la fracción se nos convierta en una diferencia de cuadrados simplemente debemos multiplicar lo que hay en el denominador por su conjugado, es decir los mismos términos pero con diferente signo, pero recuerda que debemos poner lo mismo en el numerador como en el denominador de la fracción por la cual vamos a multiplicar nuestra fracción principal para que no se nos altere el resultado.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3x%7D%7B%20%5Csqrt%7B7x%5E2%7D%2B%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%7D%20%2A%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B7x%5E2%7D-%20%5Csqrt%7B3x%7D%7D%7B%20%5Csqrt%7B7x%5E2%7D-%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%20%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B3x%2A%28%5Csqrt%7B7x%5E2%7D-%20%5Csqrt%7B3x%7D%29%7D%7B%28%5Csqrt%7B7x%5E2%7D%2B%20%5Csqrt%7B3x%7D%29%28%5Csqrt%7B7x%5E2%7D-%20%5Csqrt%7B3x%7D%29%7D%20" />

Lo que tenemos en el denominador ya es una diferencia de cuadrados, entonces simplemente aplicamos la propiedad.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3x%2A%28%5Csqrt%7B7x%5E2%7D-%20%5Csqrt%7B3x%7D%29%7D%7B%28%5Csqrt%7B7x%5E2%7D%2B%20%5Csqrt%7B3x%7D%29%28%5Csqrt%7B7x%5E2%7D-%20%5Csqrt%7B3x%7D%29%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B3x%20%5Csqrt%7B7x%5E2%7D-3x%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%20%7D%7B%28%20%5Csqrt%7B7x%5E2%7D%20%29%5E2-%28%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%29%5E2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B3x%20%5Csqrt%7B7x%5E2%7D-3x%20%5Csqrt%7B3x%7D%20%20%7D%7B%207x%5E2%20-%203x%7D%0A" />

Así es como se racionalizan todas las fracciones que contengan polinomios en el denominador solamente hay que aplicar ciertos productos notables según sea el caso.

Fue un placer, saludos.