Reducir el orden de una ecuacion diferencial?
Reducir el orden de una ecuacion diferencial.
En resumen
• ECUACIONES EXPL´ICITAS DE PRIMER ORDEN. Es decir, de la forma y ′ = f(x, y). 1. Variables separadas. Son de la forma g(x) = h(y)y ′ . Formalmente, se separa g(x) = h(y) dy dx en g(x) dx = h(y) dy y se integra. 2. Ecuaci´on de la forma y ′ = f(ax + by).
Mejor respuesta
• ECUACIONES EXPL´ICITAS DE PRIMER ORDEN.
Es decir, de la forma
y
′ = f(x, y).
1. Variables separadas.
Son de la forma
g(x) = h(y)y
′
.
Formalmente, se separa g(x) = h(y)
dy
dx en g(x) dx = h(y) dy y se integra.
2. Ecuaci´on de la forma y
′ = f(ax + by).
El cambio de funci´on y(x) por z(x) dado por z = ax + by la transforma en una de
variables separadas.
3. Homog´eneas.
Son de la forma
y
′ = f
y
x
.
Se hace el cambio de funci´on y(x) por u(x) mediante y = ux, transform´andose as´ı la E.
D. en una de variables separadas.
3
′
.
Reducibles a homog´eneas.
Son de la forma
y
′ = f
a1x + b1y + c1
ax + by + c
.
3
′
.
1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1x + b1y + c1 = 0 se cortan en (x0, y0), se hace
el cambio de variable y de funci´on X = x − x0, Y = y − y0.
La ecuaci´on se reduce a una
homog´enea.
3
′
.
2. Si ax + by + c = 0 y a1x + b1y + c1 = 0 son rectas paralelas, se hace el cambio
de funci´on z = ax + by.
La nueva ecuaci´on que aparece es de variables separadas.
3
′′
.
Homog´eneas impl´ıcitas.
Son de la forma
F
y
x
, y′ = 0.
Consideramos la curva F(α, β) = 0.
Si encontramos una representaci´on param´etrica
α = ϕ(t), β = ψ(t), F(ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de funci´on y por t mediante
y
x = ϕ(t), y
′ = ψ(t).
As´ı, derivando y = xϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´on en
variables separadas.
3
′′′
.
Si la ecuaci´on y
′ = f(x, y)
es tal que, para alg´un α 6 = 0 fijo, f satisface
f(λx, λα
y) = λ
α−1
f(x, y),
entonces el cambio de funci´on y = z
α transforma la ecuaci´on en una homog´enea.
(Si α = 1,
la E.
D. ya es homog´enea ; y si f cumple la relaci´on anterior con α = 0, la E.
D. es de
variables separadas.
).
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