Resolver la Integral :∫dx / √((4x² - 25)³)?
Resolver la Integral : ∫dx / √((4x² - 25)³).
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 2 votos · mejor respuesta de Nayelitamonste1
Cómo hacerlo
- Lee el enunciado e identifica los datos y lo que te piden.
- Recuerda la fórmula o el método adecuado para resolver el tema.
- Aplica los pasos de forma ordenada, sin saltarte ninguno.
- Calcula con cuidado y anota el resultado con sus unidades.
- Comprueba la solución sustituyendo o repasando el procedimiento.
Respuestas de la comunidad
Mejor respuesta
∫dx / √((4x² - 25)³)
Por sustitucióntrigonométrica :
Sea x = 5 / 2 secθ
dx / dθ = 5 / 2 secθ tanθ
dx = 5 / 2 secθ tanθ dθ
∫dx / √((4x² - 25)³) =
∫(5 / 2 secθ tanθ dθ) / √((4(5 / 2 secθ)² - 25)³) =
5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √((25sec²θ - 25)³) =
5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √((25 (sec²θ - 1))³) =
5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √((25 (tan²θ))³) =
5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √(25 (tan²θ))³) =
5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / √(15625(tan³θ)²) =
5 / 2∫(secθ tanθ dθ) / (125 tan³θ) =
1 / 50∫secθ / tan²θdθ =
1 / 50∫cosθ csc²θdθ
Miremos la integral :
∫cosθ csc²θdθ
Integrando por partes :
u = cos θ
du = - senθ dθ
dv = csc²θ dθ
v = ∫csc²θ dθ
v = - cotθ = - 1 / tanθ
∫cosθ csc²θdθ = - 1 / tanθcosθ - ∫ - 1 / tanθ ( - senθ) dθ = - cos²θ cscθ - ∫cosθdθ = - cos²θ cscθ - senθ + K
Volviendo a la integral principal :
1 / 50( - cos²θ cscθ - senθ + K)
Ahora debemos reemplazar, comox = 5 / 2 secθ
cosθ = 5 / 2x
Cosθ = CA / H , con esto podemos formar un triangulo rectángulo y armar todas las funciones trigonométricas :
Halando el CO :
25 + CO² = 4x²
CO² = 4x² - 25
CO = √(4x² - 25)
Con esto hallamos senθ = √(4x² - 25) / 2x y cscθ = 2x / √(4x² - 25)
1 / 50( - cos²θ cscθ - senθ + K) = 1 / 50(( - 25 / 4x²) 2x / √(4x² - 25) - √(4x² - 25) / 2x) + c = 1 / 50( - 25 / (2x√(4x² - 25)) - 4x² - 25 / (2x√(4x² - 25))) + c = 1 / 50 ( - 4x² / (2x√(4x² - 25))) + c = 1 / 50( - 2x / √(4x² - 25) ) + c = - x / ( 25√(4x² - 25) ) + c.
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