Si una raiz de la ecuacion x ^ 2 + (3k - 1)x - 15 = 0 tiene valor de 3 calcula el valor de k y la otra raiz si una raiz de la ecuacion (k ^ 2 - 3)x ^ 2 - 3(k - 1)x - 5k = 0 tiene valor - 2 calcula el valor de k y la otra raiz.
ax² + bx + c = 0
En resumen
X ^ 2 + (3k - 1)x - 15 = 0 si una raíz es 3 entonces, sustituimos x = 3 3 ^ 2 + (3k - 1)3 - 15 = 0 9 + 9k - 3 - 15 = 0 - 9 + 9k = 0 despejamos k 9k = 9 entonces k = 9 / 9 .
X ^ 2 + (3k - 1)x - 15 = 0
si una raíz es 3 entonces, sustituimos x = 3
3 ^ 2 + (3k - 1)3 - 15 = 0
9 + 9k - 3 - 15 = 0 - 9 + 9k = 0
despejamos k
9k = 9
entonces
k = 9 / 9 .
K = 1
ya que conoces k, en la ecuacion original te queda :
x ^ 2 + (3(1) - 1)x - 15 = 0
x ^ 2 + 2x - 15 = 0
factorizamos.
(x - 3) (x + 5) = 0
la primer raíz.
X - 3 = 0 entonces x = 3
la otra raíz.
X + 5 = 0, entonces x = - 5
Esa es tu otra raíz : )
Ahora para (k ^ 2 - 3)x ^ 2 - 3(k - 1)x - 5k = 0 con una raíz = - 2
sustituimos
(k ^ 2 - 3)( - 2 ^ 2) - 3(k - 1)( - 2) - 5k = 0
(k ^ 2 - 3) * 4 - 3 * ( - 2)(k - 1) - 5k = 0
4(k ^ 2 - 3) + 6(k - 1) - 5k = 0
4(k ^ 2) - 12 + 6k - 6 - 5k = 0
4(k ^ 2) + k - 18 = 0
factorizamos
(4k + 9) (k - 2) = 0
entonces tu primer k es.
4k + 9 = 0 entonces.
K = - 9 / 4
tu segunda k es.
K - 2 = 0 entonces k = 2
entonces para continuar con la segunda raíz debemos considerar un resultado con la primer k y otro con la segunda k dado que ambas son válidas
CON K = - 9 / 4 :
(k ^ 2 - 3)x ^ 2 - 3(k - 1)x - 5k = 0
(( - 9 / 4) ^ 2 - 3)(x ^ 2) - 3(( - 9 / 4) - 1)x - 5( - 9 / 4) = 0
(81 / 16 - 3) * x ^ 2 - 3 * ( - 13 / 4)x + 45 / 4 = 0
(33 / 16)x ^ 2 + 39 / 4x + 45 / 4 = 0
como esta complicado de factorizar, mejor usamos la formula general
aplicando la fórmula general que dice
( - b + / - (raiz de : b ^ 2 - 4ac)) / 2a
y sustituyendo a = 33 / 16, b = 39 / 4, c = 45 / 4
entonces x1 = ( - 39 / 4 + (raiz de : ( - 39 / 4) ^ 2 - 4(33 / 16)(45 / 4) ) / 2(33 / 16)
x1 = - 2
ahora x2 = ( - 39 / 4 - (raiz de : ( - 39 / 4) ^ 2 - 4(33 / 16)(45 / 4) ) / 2(33 / 16)
x2 = - 2.
7272727
intentemos con el otro
CON K = 2
(2 ^ 2 - 3)x ^ 2 - 3(2 - 1)x - 5(2) = 0
(4 - 3)x ^ 2 - 3(1)x - 10 = 0
x ^ 2 - 3x - 10 = 0
factorizamos :
(x - 5) (x + 2) = 0
primera raiz.
X - 5 = 0 entonces.
X = 5
segunnda raíz.
X + 2 = 0 entonces .
X = - 2
Por lo que el valor de k puede ser - 9 / 4 y 2 y ambos son válidos por darte una raíz = - 2.