Una empresa fabrica dos artículos A y B a partir de dos materias primas P y Q?

A) Demostrar que los vectores A = (2, 1) y B = (3, 5) forman una base de R2 - Debemos demostrar que ambos vectores son linealmente independientes.

Para que sean linealmente independientes :

k1 * v1 + k2 * v2 = 0

k1 * (2, 1) + k2 (3, 5) = (0, 0)

(2k1 + 3k2 , k1 + 5k2) = (0, 0)

2k1 + 3k2 = 0 k1 + 5k2 = 0

k2 = - (2 / 3)k1

k1 + 5( - 2 / 3)k1 = 0

k1 - (10 / 3)k1 = 0

3k1 - 10k1 = 0 - 7k1 = 0

k1 = 0 ; k2 = 0

Los vectores son linealmente independientes - Debemos demostrar que existe un vectorv que genera a los vectores (2, 1) y (3, 5)

v = c1 * A + c2 * B

v = k1 * A + k2 * B

Restando ambas ecuaciones :

0 = (c1 - k1)A + (c2 - k2)B

c1 - k1 = 0 ; c2 - k2 = 0

c1 = k1 ; c2 = k2

Las dos expresiones son iguales, entonces los vectores (2, 1) y (3, 5) forman una base para R2

b) Obtención de (λ, β)

(41, 45) = λ(2, 1) + β(3, 5)

41 = 2λ + 3β

45 = λ + 5β

Despejandoλ de la 2da ecuación

λ = 45 - 5β

Sustituyendo en la 1era ecuación

41 = 2(45 + 5β) + 3β

41 = 90 + 10β + 3β

41 - 90 = 13β

β = - 49 / 13

λ = 45 - 5 ( - 49 / 13)

λ = 45 + 245 / 13

λ = 830 / 13.