Ejercicio 1. - [2’5 puntos] Se quiere construir un dep ́osito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13’5 metros c ́ubicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del dep ́osito para que el gasto en chapa sea el m ́ınimo posible. Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014 - 2015, Matematicas II.
En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014 - 2015, MATEMATICAS II. El objetivo es que<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%20x%5E2%2B4xy" /> sea un mínimo. Por otro lado tenemos que, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2.
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,
Modelo 4 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
El
objetivo es que<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%20x%5E2%2B4xy" /> sea un mínimo.
Por
otro lado tenemos que,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2.y%3D13%27%205%20%20%20" />⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%20%2013%275%2Fx%5E2%20" />
Ahora sustituyamos en S para que la
ecuación quede en función de una variable.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%20x%5E2%2B4x%20%20%20%5Cfrac%7B13%275%7D%7Bx%5E2%7D%20%20%3D%20x%5E2%2B%20%5Cfrac%7B54%7D%7Bx%7D%20" />
Calculamos la primera derivada y la
igualamos a 0 para obtener un valor extremo.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%27%3D%202x-%20%20%5Cfrac%7B54%7D%7Bx%5E2%7D%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7B%282x%5E3-54%29%7D%7Bx%5E2%7D%20%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%20%20%5Csqrt%5B3%5D%7B27%7D%20%3D3" />
Ahora, calculamos la segunda derivada
para comprobar que el valor sea un mínimo.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%27%27%3D%20%20%20%5Cfrac%7B%286x%5E2.x%5E2-2x%282x%5E3-54%29%29%7D%7Bx%5E4%7D%3D%20%20%5Cfrac%7B%286x%5E3-4x%5E3%2B108%29%7D%7Bx%5E3%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%282x%5E3%2B108%29%7D%7Bx%5E3%7D" />
⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20S%27%27%20%28x%3D3%29%3D6" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200" /> ⇒ Es unmínimo.
En
conclusión, las dimensiones deben ser<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D3m" /> ; [img = 10].
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014 - 2015, MATEMATICAS II a) Debemos calcular la ecuación para una recta que pase por el punto P y a su vez sea perpendicular al plano, esto quiere decir que…
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