Ejercicio 2. - [2’5 puntos] Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de una funci´on f en el punto de abscisa x = 1 sabiendo que f(0) = 0 y f ′ (x) = (x − 1)2 x + 1 para x > −1 Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015 - 2016, Matematicas II.
En resumen
La ecuación de la recta tangente a una curva tiene la siguiente expresión : Y – Yo = f’(Xo) * (X – Xo) Dónde : Xo es el punto de la abscisa donde se desea la recta tangente. Yo es la imagen de Xo en la función f(x).
La ecuación de la recta tangente a una curva tiene la
siguiente expresión :
Y – Yo = f’(Xo) * (X – Xo)
Dónde :
Xo es el punto de la abscisa donde se desea la recta
tangente.
Yo es la imagen de Xo en la función f(x).
F’(Xo) es la función derivada y evaluada en el punto de
estudio.
De los datos del ejercicio se tiene :
Xo = 1
f’(Xo) = (x - 1) ^ 2 / (x + 1)
f’(1) = (1 – 1) ^ 2 / (1 + 1) = 0
Para obtener Yo hay que integrar f’(x), como se muestra a
continuación :
∫[(x - 1) ^ 2 / (x + 1)] dx
Desarrollando el numerador se tiene que :
∫[(x ^ 2 – 2x + 1) / (x + 1)] dx
Dividiendo los polinomios se tiene que :
(x ^ 2 – 2x + 1) / (x + 1) = (x – 3) + 4 / (x + 1)
Sustituyendo en la integral se tiene que :
∫[(x – 3) + 4 / (x + 1)] dx
Aplicando las propiedades de las integrales :
∫(x – 3) dx + ∫[4 / (x + 1)] dx
La primitiva es :
f(x) = x ^ 2 / 2 – 3x + 4 * ln(x + 1) + C
Sí f(0) = 0 se tiene que la constante de integración es :
0 = (0 ^ 2 / 2) – (3 * 0) + 4 * ln(0 + 1) + C
C = 0
Por lo tanto la función queda :
f(x) = x ^ 2 / 2 – 3x + 4 * ln(x + 1)
Evaluando la función en x = 1 :
f(1) = (1) ^ 2 / 2 – 3 * 1 + 4 * ln(1 + 1) = 0, 273
Finalmente la ecuación de la recta tangente es :
Y – 0, 273 = 0 * (X – 1)
Y = 0, 273
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
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