Ayuda con estos ejercicios de demostrar las siguientes identidades trigonometricas?

Bueno para la primer no es muy complicada, partimos sabiendo que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%24%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%3D1%24%0A%5Cend%7Bequation%7D" />

el numero entre paréntesis es la numeración, es una etiqueta, bien, sabiendo (1), para la primer demostración tenemos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctan%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%3D%5Ctan%5E%7B2%7D%28x%29%2B1" />

pero además, sabemos que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Ctan%5E%7B2%7D%28x%29%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D" />

entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%2B1%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D" />

pero el numerador por (1), nos queda,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=...%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%3D%5Csec%5E%7B2%7D%28x%29_%7B%5Cblacksquare%7D" />

y eso es lo que queríamos demostrar,

para la siguiente sabemos que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Csec%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%28x%29%7D" />

entonces, ,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%28x%29%7D%5Csin%28x%29%3D%5Cfrac%7B%5Csin%28x%29%7D%7B%5Ccos%28x%29%7D%3D%5Ctan%28x%29_%7B%5Cblacksquare%7D" />

y eso se lo que quieríamos demostrar.

Ya sabemos a que es igual la tangente, vemoas,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7D%3D%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B4%7D%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%7D%5Cneq1" />

por l tanto no se consiguio llegar a demostrar la hipotesis por lo tanto no se cumple esa iidentidad, es FALSA¡.

Para el último, intentalo hacer tu ¿va?

, solo necsita uutulizar (1), y luego vas a necesitar lo ssiguiente, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccot%5E%7B2%7D%28x%29%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%7D" /> y también que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=csc%5E%7B2%7D%28x%29%3D%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%7D" />

listo con la primer identidad y con éstas dos cosas vas a poder demostrar esa identidad que SI se cumple.

Inténtalo y sg¡igue practicando.

Saludos.