Ayudenme con este ejercicio de integrales?
Ayudenme con este ejercicio de integrales.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 10 votos · mejor respuesta de Sebastian98
En resumen
1) Centrémonos en el plano XY, las rectas y = x , x = 1, forman dos regiones <img src="https://tex.z-dn.net/?
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1) Centrémonos en el plano XY, las rectas y = x , x = 1, forman dos regiones <img src="https://tex.z-dn.net/?f=R_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A1%5Cleq%20x%5Cleq%20y%5C%7D%5C%5C%20%5C%5C%0AR_2%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3Ay%5Cleq%20x%20%5Cleq%201%5C%7D" />
2) en base a (1), el plano z = 0 limita a dos sólidos (uno por encima de este plano y otro por debajo).
Pero más allá de eso la pregunta es en qué región hay solido ACOTADO
2.
1) Es fácil ver que en<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R_1" /> la función<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%2Cy%29%3Dxy" /> está por encima del plano z = 0, es decir
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%5Cleq%20x%5Cleq%20y%5Cto%20y%5Cleq%20xy%5Cleq%20y%5E2%20%5Cto%20%20y%5Cleq%20z%5Cleq%20y%5E2%5C%2C%2C%5C%2C%20%5Ctext%7Bcon%20%7Dy%5Cgeq%201%20%0A" />
Y además la función no está acotada en<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R_1" />
2.
2) Veamos qué sucede en<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R_2" />.
Aquí podríamos separar esta región así
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R_%7B2%2C1%7D%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A%200%5Cleq%20x%5Cleq%201~%2C~y%5Cleq%20x%5C%7D%5C%5C%20%5C%5C%0AR_%7B2%2C2%7D%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A%20x%5C%20%5Ctextless%20%5C%200~%2C~y%5Cleq%20x%5C%7D%5C%5C%20%5C%5C" />
En<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R_%7B2%2C2%7D" /> la función z = xy está por encima del plano z = 0, ya que tanto x, como y son negativos, además NO hay sólido acotado, ya que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%5Cleq%20x%5Cto%20xy%5Cgeq%20x%5E2%20%5Cto%20z%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%5Ctext%7B%20y%20%7D%5C%5C%0Ay%5Cleq%20x%5Cto%20y%5E2%20%5Cgeq%20xy%5Cto%20y%5E2%20%20%5Cgeq%20z%5C%5C%20%5C%5C%20%0A%5Ctext%7Bcomo%20%7Dy%5Ctext%7B%20no%20est%5C%27a%20acotado%2C%20entonces%20%7Dz%5Ctext%7B%20tampoco%20lo%20est%5C%27a%7D" />
En<img src="https://tex.z-dn.net/?f=R_%7B2%2C1%7D" /> hay una parte en que el sólido está por encima de z = 0, y otra por debajo
La que está por encima es fácil de deducir [img = 10]
ya que en este caso la función z = xy tiene tanto a x como a y positivos, además[img = 11] están acotados por ende z = xy SI está acotado.
Mientras en la otra región [img = 12]
La función z = xy, está por debajo, por obvias razones.
En este caso solamente x está acotada, mas la variable y NO lo está y por consiguiente tampoco la función z = xy.
Así la base de D se reduce a la región[img = 13], es decir [img = 14]
por ende [img = 15] = = = = = = = = = = = = = = CÁLCULO DE LA INTEGRAL = = = = = = = = = = = = = =
[img = 16]
[img = 17].
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Ayudenme con este ejercicio de integrales?
1) Centrémonos en el plano XY, las rectas y = x , x = 1, forman dos regiones <img src="https://tex.z-dn.net/?
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