Determine la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los puntos (1 ; 1), (1 ; 11) y sus vértices los los puntos (1 ; 3), (1 ; 9).
Foco 1(1 , 1) ; Foco 2 (1 , 11)
Vertice 1(1 , 3) ; Verice 2 (1 , 9)
En centro de la hiperbola va a hacer el punto medio entre los Vertices
Xm = (X1 + X2) / 2 X1 = 1 ; X2 = 2
Xm = (1 + 1) / 2 = 2 / 2 = 1 ; Xm = 1
Ym = (Y1 + Y2) / 2 Y1 = 3 ; Y2 = 9
Ym = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6 ; Ym = 6
El centro de la hiperbola este en el punto : (1 , 6)
Como vemos se abre paralelo al eje Y
a = Distancia del centro al vertice : (9 - 6) = 3
c = Distancia del centro al foco : (11 - 6) = 5
c² = a² + b² :
5² = 3² + b²
b² = 5² - 3²
b² = 25 - 9
b² = 16
b = √16 = 4
b = 4
Ecuacion canonica de la hiperbola con eje paralelo a Y
(Y - k)² / a² - (X - h)² / b² = 1
Donde (h , k) es el centro : (1 , 6)
[(Y - 6)² / 9] - [(X - 1)² / 16] = 1 (Ecuacion canonica de la hiperbola)
[16(Y - 6)² - 9(X - 1)²] / 144 = 1
16(Y - 6)² - 9(X - 1)² = 144
16(Y² - 12Y + 36) - 9(X² - 2X + 1) = 144
16Y² - 192Y + 576 - 9X² + 18X - 9 = 144
16Y² - 9X² - 192Y + 18X + 567 - 144 = 0
16Y² - 9X² - 192Y + 18X + 423 = 0 (Ecuacion General de la Hiperbola)
Te anexo la grafica.
Según la definición de elipse la suma de las distancias desde el punto (x y) hasta los focos = constante Por lo tanto : √[(x + 4)² + (y - 3)²] + √[(x - 2)² + (y - 3)²] = 16 Mediante un proceso algebraico muy extenso…
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Respuesta : Hipérbola . Ecuación : x² / 4 - y² / 5 = 1 e = 3 / 2 Explicación paso a paso : Para resolver el ejercicio se procede a calcular la ecuación de la hipérbola y la excentricidad , de centro c(0, 0) cuyos…
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