Encontrar la ecuación de la trayectoria de un punto P(x, y) que se mueve de modo que su distancia al punto fijo (5, 0) es la mitad de su distancia a la recta x = 20. Identificar la curva resultante, analizarla y dibujarla.
ax² + bx + c = 0
En resumen
Según los datos que nos proporcionan la distancia del punto móvil al punto fijo (5, 0) es siempre la mitad de la distancia a la recta x = 20, la distancia a una recta se toma siempre en la dirección normal a esta.
Según los datos que nos proporcionan la distancia del punto móvil al punto fijo (5, 0) es siempre la mitad de la distancia a la recta x = 20, la distancia a una recta se toma siempre en la dirección normal a esta.
De modo que podemos pensar dos vectores posición relativa r (distancia a la recta) y q(distancia al punto) : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%28x_r%2C%200%29%3D%28x-20%2C0%29%5C%5Cq%3D%28x_p-5%2Cy_p%29%3D%28x-5%2Cy%29" />Ahora tenemos que la distancia al punto es la mitad de la distancia a la recta : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%7C%7Cr%7C%7C%3D2%7C%7Cq%7C%7C%5C%5Cx-20%3D2%5Csqrt%7B%28x-5%29%5E2%2By%5E2%7D" />Elevamos al cuadrado en ambos miembros : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x-20%29%5E2%3D4%28%28x-5%29%5E2%2By%5E2%29%5C%5C" />Desglosamos los cuadrados : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x-20%29%5E2%3D4%28%28x-5%29%5E2%2By%5E2%29%5C%5Cx%5E2-40x%2B400%3D4%28x%5E2-10x%2B25%2By%5E2%29%5C%5Cx%5E2-40x%2B400%3D4x%5E2-40x%2B100%2B4y%5E2" />Reordenando los términos.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B400%3D4x%5E2%2B100%2B4y%5E2%5C%5C300%3D3x%5E2%2B4y%5E2" />Ecuación que se puede reescribir de esta forma : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B100%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B75%7D" />Lo que nos da una elipse con centro en el origen y semiejes 10 y <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B75%7D%3D5%5Csqrt%7B3%7D" />, comprobando las condiciones del ejercicio, vemos que en y = 0 es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B100%7D%2B%5Cfrac%7B0%5E2%7D%7B75%7D%5C%5Cx%5E2%3D100%5C%5Cx%3D%5C%C3%B110" />El punto x = 10 está a 5 unidades del punto y 10 de la recta, mientras que x = - 10 está a 30 unidades de la recta y 15 del punto.
Ahora con x = 0 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%3D%5Cfrac%7B0%5E2%7D%7B100%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B75%7D%5C%5C%5C%5Cy%5E2%3D75%5C%5Cy%3D%5C%C3%B1%5Csqrt%7B75%7D" />La distancia OP (distancia al punto (5, 0)) de ambos puntos de la curva es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=OP%3D%5Csqrt%7B%28%5Csqrt%7B75%7D%29%5E2%2B5%5E2%7D%3D10" />Y la distancia a la recta de ambos puntos : [img = 10]Con lo que la curva cumple las condiciones planteadas.
Resumiendo, la trayectoria es una elipse centrada en el origen y de semieje horizontal 10 y semieje vertical [img = 11].
La gráfica de la curva se adjunta.
Se P(x, y) el punto genérico. Distancia a (2, 0) : √[(x - 2)² + (y - 0)²] Distancia a la recta : x + 2 ; son iguales. √[(x - 2)² + y²] = x + 2 ; elevamos al cuadrado : (x - 2)² + y² = (x + 2)² ; quitamos paréntesis : x²…
Respuesta : si la distancia de cada punto al punto fijo es la misma, esos puntos forman un circuloExplicación paso a paso :
Coordenadas del punto móvil : (x, y)Punto dado : ( - 2, 0)Punto sobre la recta : (2, y)Consideramos los cuadrados de las distancias : (x + 2)² + (y - 0)² = (x - 2)² + (y - y)² ; quitamos paréntesis. X² + 4 x + 4 + y² =…