Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto( - 2, - 5) y que son tangentes a la curva definida por la ecuación y = x2 + 4xpor derivación esa ecuación me sale 2x + 4 cuando reemplazo ?

Cuando se intercepta una recta con una parábola se producen tres casos.

1) la recta corta a la curva en 2 puntos.

Discriminante de la ecuación positivo

2) la recto corta a la curva : Discriminante negativo.

3) la recta es tangente a la curva : Discriminante nulo.

La recta es de la forma y + 5 = m (x + 2), forma llamada punto pendiente

y = m x + 2 m - 5

Igualamos con la ecuación de la parábola

x² + 4 x = m x + 2 m - 5 ; o bien :

x² + x (4 - m) - 2 m + 5 = 0

El discriminante debe ser nulo (condición de recta tangente)

(4 - m)² - 4 ( - 2 m + 5) = 0

16 - 8 m + m² + 8 m - 20 = 0 ; queda :

m² - 4 = 0 ; luego m = 2 ó m = - 2

Recta tangente 1) y = 2 x + 4 - 5 = 2 x - 1

Recta tangente 2) y = - 2 x + 2 ( - 2) - 5 = - 2 x - 9

Adjunto gráfica con las respuestas.

Saludos Herminio.