Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(2, 1) y B( - 2, 3) y tiene su centro sobre la recta de la ecuación x + y + 4 = 0?

Para expresar la ecuación de una circunferencia, necesitamos su radio y su centro.

Ademas la formula de una circunferencia es :

(x - k)² + (y - h)² = r²

Donde el centro es C(k ; h)

Lo primero sera reemplazar x e y por las coordenadas de los puntos que pertenecen a la circunferencia :

1) (2 - k)² + (1 - h)² = r²

2) ( - 2 - k)² + (3 - h)² = r²

Podemos igualar ambas expresiónes por que amabas son iguales a r²

(2 - k)² + (1 - h)² = ( - 2 - k)² + (3 - h)²

Desarrollamos :

4 - 4k + k² + 1 - 2h + h² = 4 + 4k + k² + 9 - 6h + h²

Operando obtenemos :

1) - 8k + 4h = 8

Para obtener otra ecuación, despejamos la ecuación de la recta :

y = - x - 4

Como sabemos que el centro pertenece, podemos reemplazar x e y por k y h

2)h = - k - 4.

Reemplazando 2) en 1) - 8k + 4( - 4 - k) = 8 - 8k - 16 - 4k = 8 - 12k = 8 + 16

k = 24 / - 12 = - 2

Con lo obtenido calculamos h

h = - 4 - k = - 4 + 2 = - 2

Es decir que el centro es ( - 2 ; - 2)

Ahora con las coordenadas del centro y las de A obtenemos r

(2 + 2)² + (1 + 2)² = r²

4² + 3² = r²

16 + 9 = r²

r² = 25

r = 5

Con lo que la circunferencia buscada responde a la formula :

C : (x + 2)² + (y + 2)² = 25

Circunferencia de centro ( - 2 ; - 2) y radio 5

Es un poco extenso, espero entiendas.

Mejor Respuesta porfa.

Saludos.