Observa y halla la ecuación general de la circunferencia en cada caso (p. 90) 167. La circunferencia que pasa por los puntos A y B y y cuyo centro pertenece a la recta l. 168. La circunferencia que pasa por los puntos A, B y C.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 9 votos · mejor respuesta de Anthony4411
En resumen
Son dos preguntas. La ecuación general de la circunferencia tiene la forma : x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Por tanto, necesitas determinar D, E y F. 167. La circunferencia que pasa por los puntos A y B y y cuyo centro pertenece a la recta l.
Son dos preguntas.
La ecuación general de la circunferencia tiene la forma :
x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
Por tanto, necesitas determinar D, E y F.
167. La circunferencia que pasa por los puntos A y B y y cuyo centro pertenece a la recta l.
Respuesta : x² + y² - 8x + 4y = 0
Explicación :
En este caso tienes dos puntos que pertenecen a la circunferencia : A = (6, 2) ; B = (8, 0)
Adicionalmente, conoces que el centro está en la intersección entre la recta I y la recta que es perpendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio.
Por tanto, la primera parte del trabajo es encontrar el centro (es decir la intersección entre la recta I y la recta que es perpendicular al segmento AB y que pasa por el punto medio del mismo).
1) Punto medio del segmento AB :
A = (6, 2)
B = (8, 0)
Punto medio : x = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7 y = (2 + 0) / 2 = 2 / 2 = 1 (7, 1)
2) Pendiente del segmento AB
m2 = Δy / Δx = - 2 / 2 = - 1
3) Pendiente de la recta que es perpendicular al segmento ABÑ
m1 × m2 = - 1 ⇒ m1 = - 1 / (m2) = - 1 / ( - 1) = 1
4) Ecuación de la recta que pasa por (7, 1) y tiene pendiente 1
y - 1 = 1 · (x - 7) ⇒ y = x - 7 + 1
⇒ y = x - 6
5) Ecuación de la recta I
puntos ( - 1, 0) ; (4, - 2)
pendiente : (0 - ( - 2) ) / ( - 1 - 4) = - 2 / 5
Ecuación : y - 0 = - (2 / 5) (x + 1)
⇒ y = - (2 / 5)x - 2 / 5
6) Intersección de la recta I con y = x - 6 - (2 / 5)x - 2 / 5 = x - 6
x + (2 / 5)x = 6 - 2 / 5
(7 / 5)x = 28 / 5
x = 28 / 7
x = 4.
⇒ y = 4 - 6 = - 2 = > centro = (4, - 2)
Ahora puedes aplicar la fórmula de la ecuación canónica con las coordenadas el centro a alguno de los puntos dados para encontrar el radio :
7) (x - h)² + (y - k)² = r²
h = 4, k = - 2,
x = 8, y = 0
⇒ (8 - 4)² + (0 + 2)² = r²
16 + 4 = r²
20 = r²
8) Y ya tienes la ecuación canónica :
(x - 4)² + (y + 2)² = 20
9) Para hallar la forma general expande los cuadrados :
x² - 8x + 16 + y² + 4y + 4 = 20
x² + y² - 8x + 4y = 0
Esa es la respuesta : x² + y² - 8x + 4y = 0
168.
La circunferencia que pasa por los puntos A, B y C
Respuesta : x² + y² - 3x - 3y - 8 = 0
Expliación :
Al tener tres puntos, puedes sustituir cada par de coordenadas y obtener
tres ecuaciones, donde D, E y F son las variables a determinar.
Por tanto, lo que deberás hacer es resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Este procedimiento está detallado en tu libro, Mateáticas 10.
2 Siglo 21 (página 87).
Puntos :
A(2, - 2), B( - 1, 4), C(5, 2)
1) Reemplaza cada punto en la forma general de la ecuación para obtener una ecuación por cada punto dado :
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
punto A ⇒ 2² + ( - 2)² + D(2) + E( - 2) + F = 0
⇒ 4 + 4 + 2D - 2E + F = 0
⇒ 2D - 2E + F = - 8
punto B ⇒ ( - 1)² + (4)² + ( - 1)D + 4E + F = 0
⇒ 1 + 16 - D + 4E + F = 0
⇒ - D + 4E + F = - 17
punto C ⇒ 5² + 2² + 5D + 2E + F = 0
⇒ 25 + 4 + 5D + 2E + F = 0
⇒ 5D + 2E + F = 29
2) Este es el sistema de ecuaciones resultante :
2D - 2E + F = - 8 - D + 4E + F = - 17
5D + 2E + F = - 29
3) Al resolver ese sistema obtienes :
D = - 3
E = - 3
F = - 8
Por tanto, la ecuación general es :
x² + y² - 3x - 3y - 8 = 0
Puedes reemplazar los pares de coordenadas de cada punto para verificar la validez de la ecuación.
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Lat / tarea / 8766821.
Son dos preguntas. La ecuación general de la circunferencia tiene la forma : x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Por tanto, necesitas determinar D, E y F. 167.
Respuesta : Explicación paso a paso :
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