A) Hallar λ para que las
rectas rA y rB se corten.
Las condiciones para que las
rectas a y B se corten son, en primer lugar que el rango de la matriz formada
por los vectores directores de cada recta y un tercer vector formado por un
punto de cada recta sea igual a 2 y en segundo lugar los vectores directores no
debe ser uno linealmente dependiente del otro.
Cumpliendo con la primera
condición se tiene que :
VdA = (1, λ, 2)
VdB = (1, 1, 1)
AB = B – A = (1, −2, 3) -
(1, 2, 1) = (0, - 4, 2)
Ahora se procede a
determinar el rango de la matriz formada por estos tres vectores : (1
λ 2)
Rango (1 1 1) = > Det = 0 (0 - 4 2) |1
λ 2|
Det = |1 1 1| =
(1)(2 + 4) – (λ)(2) + (2)( - 4) = 0 = > λ = - 1 |0 - 4 2|
Si λ ≠ - 1, Det ≠ 0 = >
Rango = 3 (No cumple con la condición)
Si λ = - 1, Det = 0 = >
Rango = 2 (Cumple con la condición)
Se sustituye λ = - 1 porque
es el que cumple con la primera condición :
VdA = (1, - 1, 2)
VdB = (1, 1, 1)
VdA ≠ α * VdB
Con eso se verifica el cumplimiento
de la segunda condición y asegura que las rectas A y B se corten.
B) Hallar λ para que la
recta rA sea paralela al plano definido por rB y rC .
Primero se debe encontrar la
normal del plano formado por rB y rC.
N = VdB x VdC = (1, 1, 1) x (1,
1, −2) = ( - 3, 3, 0)
La condición para que el
plano formado por rB y rC sea paralelo a rA es que VdA ┴ N.
VdA o N = 0
(1, λ, 2) o ( - 3, 3, 0) = 0 - 3 + 3λ = 0
λ = 1
c) Hallar el ángulo que
forman rB y rC .
El ángulo formado por rB y
rC es el ángulo formado por VdB y VdC, determinándose este mediante un producto
escalar :
VdB o VdC = |VdB| * |VdC| *
Cos(α)
|VdB| = √1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2 = √3
|VdC| = √1 ^ 2 + 1 ^ 2 + ( - 2) ^ 2 = √6
Sustituyendo los valores :
(1, 1, 1) o (1, 1, −2) = √3 * √6 * Cos(α)
1 + 1 – 2 = √18 * Cos(α)
α = 90º
Prueba de selectividad para
la comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2012 - 2013.
Matemáticas II.