Integrales indefinidas?

Tenemos la siguiente integral,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%5B3%5D%7B1%2B2x%7D%20%7D%20%7D%20dx" />

podemos hacer una sustitución,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3D1%2B2x" />

derivamos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=du%3D2dx" />

despejamos el diferencial de equis,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20dx%3D%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2%7D%20" />

haciendo los reemplazos, tenemos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2%7D%20" />

pero necesitamos que todo esté en función de la nueva variable, para eso, usamos el reemplazo que hicimos y despejamos x en función de u

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3D1%2B2x%20%5C%5C%20x%3D%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bu-1%7D%7B2%7D%20" />

y con éste último reemplazo tenemos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Bu-1%7D%7B2%7D%20%5Cright%29%5E%7B2%7D%20%20%7D%7B%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20%20%5Cleft%28%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2%7D%20%5Cright%29%3D%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bu%5E%7B2%7D-2u%2B1%7D%7B4%7D%20%20%20%7D%7B2%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D%20%7Ddu" />

usamos el álegebra y nos indica que, medios con medios extremos con extremos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B%20u%5E%7B2%7D-2u%2B1%20%7D%7B8%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20du%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B%20u%5E%7B2%7D-2u%2B1%20%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20du" />

ahora podemos distribuir el denominador a cada término del numerador haciendo las llamdas "fracciones homogéneas(álgebra)",

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B%20u%5E%7B2%7D-2u%2B1%20%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20du%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20%5Cint%7B%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%20u%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D-2%20%5Cfrac%7Bu%7D%7B%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7D%20%7D%20%20%20%5Cright%29%7D%20du" />

hacemos uso de la leyes de los exponentes (álgebra)

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%20x%5E%7Bm%7D%29%28%20x%5E%7Bn%7D%20%29%3D%20x%5E%7Bm%2Bn%7D%20%5C%5C%20%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7Bm%7D%7D%7B%20x%5E%7Bn%7D%7D%20%3D%20x%5E%7Bm-n%7D%20%5C%5C%20%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%20x%5E%7Bm%7D%7D%20%3D%20%5Cdisplaystyle%20x%5E%7B%20%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%20%7D" />

tenemos que,

[img = 10]

usnado la integral de la potencia , tenemos que,

[img = 11]

ahora hay que volver a la variable orignial y nos queda,

[img = 12]

bueno podrías seguirle desarrolando por supuesto hasta que te quede algo medio simpático, pero hasta ahí me parece bastante bien,

espero te sirva y si tienes laguna duda me avisas

Saludos¡

"mi amor - .

: (".