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Pregunta de Estadística y Cálculo · 1 respuesta · 9 votos · mejor respuesta de Karla2906
En resumen
A)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E2_2%20%7Bx%5E2%7D%20%5C%2C%20dx%20" /> Sin importar cuál sea la función f(x), la integral entre "a" y "a" (en este caso a = 2) de f(x) es cero.
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Mejor respuesta
A)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E2_2%20%7Bx%5E2%7D%20%5C%2C%20dx%20" />
Sin importar cuál sea la función f(x), la integral entre "a" y "a" (en este caso a = 2) de f(x) es cero.
Sólo a modo de verificación, veamos su primitiva, evaluémosla en x = 2, y restémosle la misma primitiva evaluada otra vez en x = 2.
Díficil que dé algo distinto de cero :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A2%5E%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A2%5E%7B3%7D%3D0" />
b)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E1_%7B-1%7D%20%7B%283x%5E%7B2%7D%2Bx%29%7D%20%5C%2C%20dx%20" />
Hallemos la primitiva de f(x)
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%20" />
Evaluemos en los límites y restemos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%281%29%5E%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%281%29%5E%7B2%7D%29%20-%28%28-1%29%5E%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28-1%29%5E%7B2%7D%29%3D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%281%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%29-%28-1%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%3D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B2%7D%3D2%20" />
c)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E3_0%20%7B4%7D%20%5C%2C%20dx%20" />
Cuya primitiva es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%3D4x" />
Evaluemos y restemos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%284%2A%283%29%29-%284%2A%280%29%29%3D12-0%3D12" />
d) Nos piden el área bajo "la curva" de una integral definida.
Pero por lo que vimos hasta ahora las integrales definidas son iguales a un número, no a una curva.
Por lo tanto no existe área bajo una integral definida.
Más allá de que la pregunta queda resuleta, una aclaración.
El número al que es igual la integral definida, representa al área bajo la curva de la función entre los límites de la integral.
Si aún así quiere saber cuánto vale la integral definida en cuestión :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E%7B4%7D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%20-%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B6%2Ax" />
Evaluemos y restemos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D1%5E%7B4%7D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D1%5E%7B3%7D%20-%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D1%5E%7B2%7D%2B6%2A1%29-%28%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%28-1%29%5E%7B4%7D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%28-1%29%5E%7B3%7D%20-%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%28-1%29%5E%7B2%7D%2B6%28-1%29%29%3D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%20%2B6%29-%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D-%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D-6%29%3D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B3-8%2B30%2B72%7D%7B12%7D-%20%5Cfrac%7B3%2B8-30-72%7D%7B12%7D%3D%20%5Cfrac%7B97%7D%7B12%7D%2B%20%5Cfrac%7B91%7D%7B12%7D%3D%20%5Cfrac%7B188%7D%7B12%7D%3D%20%5Cfrac%7B47%7D%7B3%7D%20" />
Ese 47 / 3 no es una función constante ni nada por el estilo, es el número 47 / 3 y como tal, sería un error creer que puede haber un área debajo suyo.
Saludos!
Preguntas frecuentes
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A)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E2_2%20%7Bx%5E2%7D%20%5C%2C%20dx%20" /> Sin importar cuál sea la función f(x), la integral entre "a" y "a" (en este caso a = 2) de f(x) es cero.
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