Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice este sobre la recta 2y - 3x = 0, que su eje sea paralelo al de coordenadas x, y que pase por los puntos (3, 5) y (6, - 1)?

Veamos.

Si el eje es paralelo al eje x la ecuación canónica de la parábola es :

(y - k)² = 2.

P. (x - h)

(h, k) son las coordenadas del vértice y p es el parámetro.

Son las incógnitas de este problema.

Las coordenadas del vértice satisfacen la ecuación de la recta :

2k - 3h = 0 ; por lo tanto k = 3 / 2.

H = 1, 5 h

Pasa por el punto (3, 5) : (5 - 1, 5 h)² = 2.

P. (3 - h) (1)

Pasa por el punto (6, - 1) : ( - 1 - 1, 5 h)² = 2.

P. (6 - h) (2)

Entre (1) y (2) hay un sistema de dos ecuaciones con dos incógnicas.

Si despejamos 2p, nos queda : (5 - 1, 5 h)² / (3 - h) = ( - 1 - 1, 5 h) ^ 2 / (6 - h)

Esto produce una ecuación de segundo grado en h.

Te dejo la tarea de resolverlas.

Te doy las soluciones :

h = 2 ; k = 3 ; p = 2

h = 98 / 33 ; k = 49 / 11 ; p = 54 / 11

Las ecuaciones son entonces :

(y - 3)² = 4 (x - 2)

(y - 49 / 11)² = 108 / 11 (x - 98 / 33)

Se puede verificar que las dos parábolas se cortan en los puntos dados

Te adjunto un archivo con la gráfica de las dos parábolas, la recta y los puntos.

Saludos Herminio.