Ejercicio 4?

A)

Determina la ecuación del plano que pasa por el

punto P y es perpendicular a r.

De la ecuación de la recta se debe extraer el vector

director, el cual cumple con la condición de normal del plano según las

exigencias del ejercicio.

Si z = λ, entonces las variables quedan {x = 1 ; y = - 2λ ;

z = λ}.

Por lo tanto los coeficientes de λ son las componentes del vector

director de la recta r.

Vr = (0, - 2, 1)

A (1, 0, 0)

La ecuación general del plano quedaría :

π : 0 * X – 2 * Y + Z + C = 0

Se sustituyen las coordenadas del punto P para encontrar la

constante C del plano.

( - 2 * 0) + 5 + C = 0

C = - 5

Finalmente el plano es :

π : - 2Y + Z – 5 = 0

b)

Calcula la distancia de P a la recta r y el

punto simétrico de P respecto a r.

Se determina la distancia desde la recta al punto usando la

siguiente ecuación :

D = |PA x Vr| / |Vr|

Se parte calculando |Vr|.

|Vr| = √0 ^ 2 + ( - 2) ^ 2 + 1 ^ 2 = √5

Ahora se calcula el vector desde el punto A perteneciente a

la recta, hasta el punto P.

PA = (1, 0, 5) – (1, 0, 0) = (0, 0, 5)

Aplicando la ecuación se tiene que :

D = |(0, 0, 5) x (0, - 2, 1)1 / √5

D = |(10, 0, 0)| / √5

D = √10 ^ 2 + 0 ^ 2 + 0 ^ 2 / √5

D = 10 / √5 = 2√5 u

Ahora se determina el punto medio entre P y su simétrico P’.

Se interceptan la recta y el plano para encontrar el punto

medio entre P y P’ que será conocido como M.

El sistema de ecuaciones es : - 2Y + Z – 5 = 0

Y + 2Z = 0

X = 1

Si se despeja Y de la segunda ecuación y se sustituye en la

primera se obtiene que : - 2( - 2Z) + Z – 5 = 0

Z = 1

Y = - 2

El punto M es :

M (1, - 2, 1)

Ahora es posible obtener el valor de P’ :

Xm = Px + P’x / 2

1 = 1 + P’x / 2

P’x = 1

Ym = Py + P’y / 2 - 2 = 0 + P’y / 2

P’y = - 4

Zm = Pz + P’z / 2

1 = 5 + P’z / 2

P’z = - 3

El punto simétrico a P es :

P’ (1, - 4, - 3)

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO

2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.